Преобразование Фурье

Так называется действие, с помощью которого по заданной в интервале функции строится система чисел (15.2). По традиции, именно эти числа также обозначают словами «преобразование Фурье» данной функции. При этом числа называются косинус-преобразованием Фурье функции , а числа называются синус-преобразованием Фурье функции . У преобразования Фурье функции есть множество свойств и применений; в частности, известен ряд прикладных вопросов, в которых ту или иную информацию о функции удается получить только через ее преобразование Фурье, которое в таких ситуациях удается получить некоторыми косвенными средствами.

Рассмотрим следующий частный случай. Функция рассматривается на интервале: (-p,p) и притом только в его отдельных точках при некотором заранее заданном и фиксированном числе . Значения функции в этих точках считаются известными; обозначим .

В равенстве = положим . Получим

(15.7)

Проанализируем соотношение (15.7). Если произвольное целое неотрицательное число разделить с остатком на число , то получится соотношение , где для целых имеются лишь следующие возможности:

.

С учетом периодичности косинуса и синуса в выражении (15.7) можно привести подобные члены, в результате чего получится:

, (15.8)

где:

,

 

Отметим, что теперь все суммы в (15.8) - конечны. Известен следующий факт о тригонометрических суммах:

для всех чисел имеют место равенства

Если обе части соотношения (15.8) умножить на и затем просуммировать по , то, с учетом только что сказанного, легко получить, что

; (15.9)

 

а если обе части (15.9) умножить на и, с учетом того же утверждения о суммировании косинусов и синусов, получим соотношение:

 

(15.10)

 

причем в (15.9) и (15.10) . Числа , называются дискретным преобразованием Фурье функции . Если в равенстве (15.8) заменить на произвольный , то оно из точного станет приближенным. Его правую часть в этом случае называют тригонометрической интерполяцией функции .