Основные определения и формулы

 

Оптика – раздел физики, занимающийся изучением природы света, закономерностей его испускания, распространения и взаимодействия с веществом.

Экспериментально установлено, что действие света на устройства для его регистрации определяет вектор электрической напряженности электромагнитного поля световой волны. Его в оптике называют световым вектором.

Скорость света в среде:

,

где с – скорость света в вакууме, n – показатель преломления среды.

Явление интерференции света состоит в перераспределении световой энергии в пространстве при наложении когерентных волн, т.е. во взаимном усилении этих волн в одних точках пространства и ослаблении – в других.

Необходимым условием интерференции волн является их когерентность. Волны одинаковой частоты, которые приходят в данную точку с разностью фаз не изменяющейся с течением времени, называются когерентными.

Оптическая длина пути световой волны:

,

где – геометрическая длина пути световой волны, n – показатель преломления среды.

Оптическая разность хода двух световых волн:

.

Связь между разностью фаз и оптической разностью хода световых волн:

.

Условие усиления света при интерференции:

; ; (m = 1, 2, …).

Условие ослабления света:

; ; (m = 1, 2, 3, …).

Оптическая разность хода световых волн при отражении от пленки, находящейся в воздухе или в вакууме.

; ,

где n – показатель преломления пленки, d – ее толщина, i₁ – угол падения, i₂ – угол преломления, l_о – длина волны света в вакууме.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете:

(m = 1, 2, 3, …),

радиус темных r_m колец Ньютона в отраженном свете:

(m = 1, 2, 3, …),

где m – номер кольца, R – радиус кривизны линзы.

В проходящем свете:

светлые кольца – (m = 1, 2, 3, …),

темные кольца – (m = 1, 2, 3, …).

Дифракцией света называются явления, обуславливающие отклонения от законов геометрической оптики при распространении света в среде с резкими неоднородностями.

Условие максимума при дифракции на одной щели:

(m = 0, 1, 2, 3, …),

где а – ширина щели, m – порядковый номер максимума, j – угол дифракции, соответствующий m-му максимуму.

Угол j отклонения лучей, соответствующий максимуму при дифракции света на дифракционной решетке, определяется из условия:

(m = 0, 1, 2, 3, …),

где d – период (постоянная) дифракционной решетки, , а – ширина щели, b – ширина непрозрачного промежутка.

Разрешающая способность дифракционной решетки:

,

где Dl – наименьшая разность длин волн двух спектральных линий с длинами волн l и l+Dl, при которой эти линии видны раздельно в спектре, полученном на дифракционной решетке, N – полное число щелей решетки.

Пространственной (трехмерной) дифракционной решеткой называется такая оптически неоднородная среда, неоднородности которой периодически повторяются при изменении всех трех пространственных координат. Примером пространственной дифракционной решетки является кристаллическая решетка твердого тела.

Дифракционные максимумы при дифракции рентгеновских лучей на кристаллах удовлетворяют условию Вульфа-Брэггов:

,

где m = 1, 2, 3, … – порядок дифракционного максимума, d – расстояние между атомными плоскостями кристалла, Q – угол между направлениями параллельного пучка рентгеновских лучей, падающих на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле.

Свет, у которого направление колебаний светового вектора Еупорядочены каким-либо образом, называется поляризованным.

Свет называется естественным, если ни одно из направлений колебаний вектора Е не является преимущественным.

Свет называют частично поляризованным, если в нем имеется преимущественное направление колебаний вектора Е.

Если колебания Е происходят параллельно одной плоскости, то такой свет является плоско- (или линейно-) поляризованным.

Если конец вектора Е описывает окружность, то такой свет называют поляризованным по кругу.

Если при падении естественного света под углом на границу раздела двух прозрачных диэлектриков выполняется условие:

,

то отраженный луч будет полностью поляризован (закон Брюстера), степень поляризации преломленного луча достигает наибольшего значения, угол между отраженным и преломленным лучами равен 90°.

Электромагнитное излучение, испускаемое веществом и возникающее за счет его внутренней энергии, называется тепловым излучением.

Энергетической светимостью называется величина R_e, численно равная энергии электромагнитных волн всевозможных длин (частот) от 0 до ¥, излучаемых за единицу времени с единицы площади тела.

Закон Стефана-Больцмана:

,

где s – постоянная Стефана-Больцмана. s = 5,67×10^-8 Вт/(м²×К⁴), Т – термодинамическая температура.

Лучеиспускательной способностью или спектральной плотностью энергетической светимости тела называют величину , численно равную энергии теплового излучения тела в интервале длин волн от l до l+Dl за единицу времени с единицы площади тела отнесенной к величине интервала длин волн dl .

Величина имеет максимум при некотором значении l_m.

Закон смещения Вина:

,

где l_m – длина волны, на которую приходится максимум величины , b – постоянная закона смещения Вина (b = 2,9×10^–3 м×К).

Энергия фотона:

,

где h – постоянная Планка, h = 6,63×10^–34 Дж×с, n – частота света, l_о – длина волны света в вакууме, с – скорость света в вакууме.

Масса фотона:

.

Импульс фотона:

.

Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

,

где А – работа выхода электрона с поверхности вещества, v_max – максимальная скорость фотоэлектронов.

Красная граница фотоэффекта:

или ,

где – минимальная частота света, – максимальная длина волны, при которой еще возможен фотоэффект.

Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов. Протон – положительно заряженная частица, имеющая заряд, равный по абсолютной величине заряду электрона (е = 1,6×10^–19 Кл). Нейтрон не имеет электрического заряда.

Зарядом ядра называется величина Ze, где Z – порядковый номер химического элемента в периодической системе. Z равно числу протонов в ядре.

А = Z + N – массовое число, N – число нейтронов в ядре.

Радиоактивностью называют превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотопы другого элемента, сопровождающиеся испусканием некоторых частиц.

Самопроизвольный распад атомных ядер подчиняется закону радиоактивного распада:

,

где N_o – количество радиоактивных ядер в образце в начальный момент времени t = 0, N – количество радиоактивных ядер в том же образце в момент времени t, l – постоянная распада.

.

– период полураспада – промежуток времени, за который число не распавшихся ядер уменьшится вдвое.

Активность А радиоактивного образца равна числу распадов ядер, произошедших за единицу времени:

.

, .

где А_о – активность образца в начальный момент времени t = 0, A – активность образца в времени t . Единица измерения активности – беккерель (БК) – один распад в одну секунду.

Число атомов, содержащихся в радиоактивном образце массы m:

return false">ссылка скрыта

,

где М – молярная масса изотопа, N_А – постоянная Авогадро.

Ядра атомов радиоактивного вещества неустойчивы, они самопроизвольно распадаются, испуская либо альфа-, либо бета- частицы, превращаясь при этом в ядра нового элемента. Радиоактивный альфа- и бета-распад многих ядер сопровождается гамма-излучением. Гамма-лучи являются жестким электромагнитным излучением, энергия которого высвобождается при переходах ядер из возбужденного в основное или в менее возбужденное состояние.

Альфа распад испытывают только тяжелые ядра с А > 200:

,

– ядро атома гелия представляет собой альфа-частицу.

Под бета-распадом понимают три вида ядерных превращений: электронный (b^–) распад, позитронный (b⁺) распад и электронный захват.

b^– – распад (испускается электрон ):

,

b⁺ – распад (испускается позитрон ):

,

электронный захват:

.

и – нейтрино и антинейтрино, выделяющиеся в реакциях b – распада ядер.

Энергия связи ядра равна работе, которую нужно затратить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны.

,

где с – скорость света в вакууме, Dm – дефект массы.

,

m_р и m_n – массы протона и нейтрона, m_я – масса ядра.

В справочниках приводятся не массы ядер, а массы атомов, тогда формула для дефекта массы ядер может быть представлена в следующем виде:

,

где m_H – масса атома водорода, m_А – масса соответствующего элемента.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра:

Е_св = 931,5 Dm (МэВ) ,

где дефект массы Dm берут в а.е.м.

Удельная энергия связи (энергия связи на один нуклон):

.

Ядерными реакциями называются превращения атомных ядер, вызванные их взаимодействием с элементарными частицами или друг с другом.

Ядерные реакции символически записываются в виде:

А + а ® В + b,

где А и В – исходное и конечное ядра, а и b – исходная и конечная частицы в реакции.

Энергия ядерной реакции:

,

где m₁ и m₂ – массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы, m₃ и m₄ – массы покоя ядер продуктов реакции.

Если Q < 0 , то энергия поглощается, если Q > 0, то реакция идет с выделением энергии.

 

Примеры решения задач

 

Пример 1:Для уменьшения потерь света при отражении от стекла на поверхность объектива (n₂ = 1,7) нанесена тонкая прозрачная пленка (n₁ = 1,3). При какой наименьшей толщине ее произойдет максимальное ослабление отраженного света, длина волны которого l = 560 нм? Считать, что лучи падают нормально к поверхности объектива.

 

Решение:Свет, падая на объектив, отражается как от передней, так и от задней поверхностей тонкой пленки. Ход лучей изображен на рисунке. Отраженные лучи 1 и 2 интерферируют между собой. Так как показатель преломления воздуха (n = 1,0) меньше показателя преломления вещества пленки (n₁ = 1,3), который, в свою очередь, меньше показателя преломления стекла (n₂ = 1,7), то в обоих случаях отражение происходит от среды, оптически более плотной, чем та среда, в которой распространяется падающий луч. Поэтому фаза колебаний луча 1 при отражении в точке А изменяется на p радиан, и точно так же на p изменяется фаза луча 2 при отражении в точке В. Следовательно, результат интерференции этих лучей будет такой же, как если бы никакого изменения фазы колебаний ни у того, ни у другого луча не было.

Результирующая интенсивность минимальна, если оптическая разность хода интерферирующих лучей 1 и 2 равна нечетному числу полуволн,

. (1)

Оптическая разность хода лучей 1 и 2 при нормальном падении лучей на пленку (i₁ = 0) равна

D = 2 dn₁. (2)

Из (1) и (2) получаем

,

откуда искомая толщина пленки . Значению d_min соответствует m = 0, следовательно

 

; .

Ответ: .

 

Пример 2. Определить радиус четвертого темного кольца Ньютона в отраженном свете, если между линзой с радиусом кривизны R = 5 м и плоской поверхностью, к которой она прижата, находится вода. Длина волны света l = 589 нм.

 

Решение:При отражении света от верхней и нижней границ водяной прослойки между плоской поверхностью и соприкасающейся с ней линзой образуются когерентные лучи 1 и 2 (см. рисунок), которые при наложении интерферируют. При r << R и нормальном падении света лучи 1 и 2 будут практически параллельны. Оптическая разность хода этих лучей для точек, соответствующих толщине водяной прослойки d, определяется по формуле

,

где n – показатель преломления воды. Величина представляет собой добавочную разность хода, возникающую при отражении луча 2 от оптически более плотной среды (стекла).

Темные кольца будут наблюдаться в тех местах, где разность хода равна нечетному числу полуволн, т.е.

,

откуда

.

Толщина слоя d меду линзой и плоской поверхностью связана с соответствующим радиусом наблюдаемого кольца следующим образом

.

Радиус темного кольца

;

.

 

Ответ:r₄ = 2,97 мм.

 

Пример 3. Плосковыпуклая стеклянная линза с оптической силой D = 2 дптр выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус r_k четвертого темного кольца Ньютона в отраженном свете равен 0,7 мм. Определить длину световой волны.

 

Решение:Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете определяются по формуле

,

где m – номер кольца; R –радиус линзы; l – длина световой волны.

Выразим из этой формулы l:

. (1)

Радиус линзы можно определить, воспользовавшись формулой линзы:

,

где D – оптическая сила линзы; F – фокусное расстояние; n – показатель преломления; R₁ и R₂ – радиусы поверхностей линзы.

Так как линза плосковыпуклая (R₂ = ¥), то

;

. (2)

Подставив (2) в (1), получим

.

 

Ответ:l = 490 нм.

 

Пример 4. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума который дает эта решетка в случае красного (l₁ = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (l₂ = 0,41 мкм) света.

 

Решение:Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок m дифракционного максимума

m = (d sin j) / l, (1)

где d – период решетки; j – угол дифракции; l – длина волны монохроматического света. Так как sin j не может быть больше 1, то число m не может быть больше d / l, т.е.

m £ d / l. (2)

Подставив в формулу (2) значения величин, получим:

m £ 2 / 0,7 = 2,86 (для красных лучей);

m £ 2 / 0,41 = 4,88 (для фиолетовых лучей).

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света m_max = 2, а для фиолетового m_max = 4.

 

Ответ:m_maxкр = 2; m_maxф = 4.

 

Пример 5. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света образует угол j = 97^о с падающим пучком (см. рис.). Определить показатель преломления n₁ жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

 

Решение:Согласно закону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если:

tg i = n₂₁,

где n₂₁ – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, tg i = n₂ / n₁.

Так как угол падения равен углу отражения, то i = j /2 и, следовательно, tg (j /2) = n₂ / n₁, откуда

.

Произведем вычисления

.

 

Ответ:n₁ = 1,33.

 

Пример 6. Два николя N₁ и N₂ расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет a = 60^о. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность I_o естественного света: 1) при прохождении через один николь N₁; 2) при прохождении через оба николя. Потери интенсивности света на отражение и поглощение в каждом николе составляет 5%.

 

Решение:1)Естественный свет, падая на грань призмы Николя (см. рисунок), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения).

Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок света (о) вследствие полного отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через призму,

.

Во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении первого николя найдем, разделив интенсивность I_o естественного света на интенсивность I₁ света, прошедшего через первый николь

. (1)

Произведем вычисления

.

Таким образом, интенсивность света после прохождения через первый николь уменьшается в 2,1 раза.

2) Плоскополяризованный пучок света интенсивностью I₁ падает на второй николь N₂ и также расщепляется на два пучка различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный пучок полностью поглощается зачерненной поверхностью призмы. Интенсивность I₂ необыкновенного пучка, вышедшего из призмы N₂, определяется законом Малюса (без учета поглощения и отражения света во втором николе)

I₂ = I₁ cos² a,

где a – угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и плоскостью пропускания николя N₂.

Учитывая потери интенсивности на поглощение и отражение во втором николе, получаем

I₂ = I₁ (1 – k) cos² a.

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I_o естественного света на интенсивность I₂ света, прошедшего систему из двух николей,

.

Заменяя отношение I_o/I₁ соотношением (1), получаем

.

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.

 

Ответ:1) I_o/I₁ = 2,1; 2) I_o/I₂ = 8,86.

 

Пример 7. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, l_m = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость R_e поверхности тела.

 

Решение:Энергетическая светимость R_e абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой

R_e = s Т⁴, (1)

где s – постоянная Стефана-Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина

l_m = b / Т, (2)

где b – постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (1) и (2), получаем

R_e = s (b / l_m)⁴. (3)

Произведем вычисления

.

 

Ответ:R_e = 35,4 МВт/м².

 

Пример 8. Красная граница фотоэффекта для никеля l_к = 257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов 1,5 В.

 

Решение:Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

hc / l = А + E_к, (1)

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; l – длина волны света; А – работа выхода электронов из металла; Е_к – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Красная граница фотоэффекта определяется из условия равенства энергии фотона работе выхода электронов

hc / l_к = А , (2)

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов

Е_к = e U , (3)

где е – заряд электрона; U – задерживающая разность потенциалов. Подставляя выражения (2) и (3) в (1), получаем

. (4)

Из уравнения (4) найдем длину волны света:

;

.

 

Ответ:l = 0,196 мкм.

 

Пример 9. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .

 

Решение:Дефект массы

, (1)

где Z – зарядовое число; А – массовое число; m_p – масса протона; m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра. Формулу (1) можно также записать в виде

, (2)

где – масса атома ; m_a – масса атома, дефект массы ядра которого определяется. Из справочных таблиц находим, что = 1,00783 а.е.м.; = 1,00867 а.е.м.; = = 15,9949 а.е.м. Подставляя в (2) числовые данные (для числа Z = 8, А = 16), получаем 0,13708 а.е.м. Энергия связи ядра

(3)

где с – скорость света в вакууме. Если дефект массы выражать в а.е.м., а энергию связи в МэВ, то формула (3) примет вид

;

= 931 МэВ/а.е.м. × 0,13708 а.е.м. = 127,6 МэВ.

Удельная энергия связи

; .

 

Ответ: 0,13708 а.е.м., = 27,6 МэВ., .

 

Пример 10. Определить начальную активность А_о радиоактивного препарата магния массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6 ч. Период полураспада магния Т_1/2 = 10 мин.

 

Решение:Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

. (1)

Знак «–» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того, чтобы найти , воспользуемся законом радиоактивного распада:

, (2)

где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; N_o – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t = 0); l – постоянная радиоактивного распада.

Продифференцируем выражение (2) по времени:

. (3)

Исключив из формул (1) и (3) , находим активность препарата в момент времени t:

. (4)

Начальную активность А_о препарата получим при t = 0:

. (5)

Постоянная радиоактивного распада l связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением

. (6)

Число N_о радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро N_А на количество вещества n данного изотопа:

, (7)

где m – масса изотопа; М – молярная масса.

С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид:

; (8)

. (9)

Произведем вычисления, учитывая, что Т_1/2 = 10 мин = 600 с, ln2 = 0,693, t = 6 ч = 6×3,6×10³ с = 2,16×10⁴ с:

;

.

 

Ответ: , .

 

Пример 11. КПД двигателя атомного ледокола равен 17%, его мощность Р₁ = 3,2×10⁴ кВт. Сколько урана – 235 расходует атомный реактор в сутки? При делении одного ядра атома урана выделяется энергия Е_о = 200 МэВ.

 

Решение:Энергия, выделяющаяся при делении массы m урана за время t:

Е = Е_о N,

где N – число атомов, содержащихся в этом количестве урана.

,

где М – молярная масса урана, N_А – постоянная Авогадро, моль^–1.

Тогда

.

КПД двигателя:

.

Расход атомным реактором урана в сутки:

.

Подставив в последнюю формулу числовые значения, выраженные в СИ и, произведя вычисления, получим:

.

Ответ:m = 0,2 кг.