ОБЩЕГО ТИПА

 

В подразд. 18.7 было показано, что необходимым условием, которому должны удовлетворять входные операторные функции Z(p) и Υ(p) линейных пассивных электрических цепей с сосредоточенными параметрами, является то, чтобы эти функции были положительными вещественными функциями. Доказа­тельство достаточности этого условия впервые сделал О. Бруне в 1931 г., пред­ложивший метод реализации пассивных двухполюсников общего типа. Сущность этого метода сводится к разложению заданной положительной вещественной функции в цепную дробь, элементами которой являются простейшие положи­тельные вещественные функции, реализуемые в виде двухполюсников.

Если заданная положительная вещественная функция Z(p) имеет простые полюсы и нули на мнимой оси, то, выделив полюсы этой функции, находя­щиеся на мнимой оси, ее можно представить в виде суммы реактансной функ­ции Z_1p(р) и положительной вещественной функции Z₁₀(p) более низкого по­рядка:

Функция Z₁₀(p) уже не будет иметь полюсов на мнимой оси, но может иметь на этой оси нули. Тогда функция Y₁₀(p)=l/Z₁₀(p) будет иметь полюсы на мнимой оси, и ее можно также представить в виде суммы реактансной функ­ции Y_2p(p) и положительной вещественной функции Y₂₀(p). Тогда

Аналогичный процесс можно продолжать до тех пор, пока оставшаяся функция уже не будет содержать ни полюсов, ни нулей на мнимой оси. Оче­видно, степени полиномов числителя и знаменателя этой оставшейся функции будут одинаковыми, иначе эта функция имела бы или нуль, или полюс при р= , которые можно было бы из нее выделить. Если при p=jω вещественная часть оставшейся функции ни при одном значении ω не равна нулю, то можно вы­делить вещественную положительную постоянную, равную наименьшему значе­нию, вещественной части на мнимой оси, которая реализуется как последова­тельное или параллельное сопротивление в зависимости от того, выражает оставшаяся функция сопротивление или проводимость. После этого описанный выше процесс выделения реактансных функций и вещественных положительных постоянных продолжается до тех пор, пока он либо успешно закончится, либо приведет к положительной вещественной функции, которая после выделения предельно возможной постоянной не имеет на мнимой оси ни нулей, ни полюсов.

В первом из этих случаев заданная положительная вещественная функция может быть представлена в виде лестничного двухполюсника [47].

Если на одном из этапов разложения заданной положительной веществен­ной функции в цепную дробь продолжение процесса оказывается невозможным из-за отсутствия у оставшейся функции нулей и полюсов на мнимой оси, то в этом случае используется предложенный О. Вруне метод, основанный на ис­кусственном введении полюсов в разлагаемую функцию [47].