ОПЕРАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПРОСТЫЕ ДРОБИ

 

Указанные в предыдущем подразделе условия, которым дол­жны удовлетворять входные операторные функции реактивных двухполюсников, являются не только необходимыми, но и доста­точными. Для доказательства достаточности этих условий следует указать хотя бы один способ реализации этих функций.

Рассмотрим первый способ реализации реактансных функций, основанный на разложении этих функций на сумму простейших реактансных функций, каждая из которых выражает операторное сопротивление или операторную проводимость простейшего реак­тивного двухполюсника.

Пусть задана реактансная функция вида (20.8). Ее можно разложить на сумму простых дробей [47]:

где т — число пар сопряженных полюсов при p=±jω_k.

Можно показать, что коэффициенты , а₀ и а_k этого разложе­ния являются вещественными положительными числами [47]. Их

можно определить различными методами, например методом неоп­ределенных коэффициентов, или по формулам:

Слагаемое вразложении (20.9), являющееся целой частью дроби (20.8), соответствует полюсу реактансной функции при

p= . Его можно рассматривать как операторное сопротивление индуктивности. В схеме двухполюсника (рис. 20.2, г)ему соответ­ствует последовательно включенная индуктивность .

Слагаемое а₀/р, соответствующее полюсу функции при p=0, можно рассматривать как операторное сопротивление емкости. В схеме двухполюсника ему соответствует последовательно вклю­ченная емкость С₀=1/а₀.

Слагаемое 2а_kр/(p² + ) соответствует паре мнимых полю­сов функции при . Это слагаемое можно представить в виде,

откуда следует, что это слагаемое можно рассматривать как опе­раторное сопротивление параллельно соединенных емкости C_k=l/2a_k и индуктивности L_k= 2a_k/ .

Таким образом, выражение (20.9) можно рассматривать как операторное сопротивление двухполюсника Z_IV(p), состоящего из последовательно соединенных индуктивности , емкости С₀ и параллельных контуров с емкостями C_k и индуктивностями L_k (см. рис. 20.2,г).

Операторные входные сопротивления Z₁(p) (20.5), Z_n(p) (20.6) и Z_II(р) (20.7) представляют собой частные случаи рас­смотренного выше разложения для Z_IV (р). В разложении для Z₁(р) будет отсутствовать слагаемое а₀р, для Z_n (р) — слагаемое

, а для Z_III(p)—слагаемые и а₀/р. Этим разложениям соответствуют двухполюсники, схемы которых приведены на рис. 20.2,α, бив.

Заменив в формулах (20.5) — (20.8) р на jω, получим четыре вида комплексных входных сопротивлений реактивных двухполюс­ников, частотные характеристики которых приведены на рис. 20.3. Из этого рисунка видно, что Z (jω)/j растет с ростом ω. Кроме ну­лей и полюсов, находящихся на конечных значениях частоты ω, двухполюсник Z₁(jω) имеет нуль сопротивления при ω=0 и по­люс при ω= ; Z_II(jω) —нуль при ω= и полюс при ω=0; Z_III(jω)—нули при ω = 0 и ω= ; Z_IV(jω) — полюсы при ω=0 и ω= .