Ранг системы векторов. Ранг матрицы

Из всех доказанных выше результатов можно сделать следующие выводы:

1) в n-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из n векторов, будет максимальной;

2) любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из n векторов;

3) всякая линейно независимая система n-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе;

4) в n-мерном пространстве существует бесконечно много различных максимально линейно независимых систем векторов.

Определение. Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы векторов.

Постановка задачи: как определить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой, и как в случае линейно независимой системы определить ее ранг. Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем понятие ранга матрицы. Пусть дана матрица

каждый столбец матрицы можно рассматривать как s-мерный вектор. Рассмотрим систему векторов, содержащую n векторов-столбцов.

Определение. Ранг системы векторов-столбцов матрицы А называется рангом этой матрицы.

(позднее мы докажем, что аналогично можно рассматривать систему векторов-строк, ранг системы векторов-строк равен рангу системы векторов-столбцов и равен рангу матрицы.)

Обобщим понятие минора на случай прямоугольной матрицы.

Определение. Пусть А-произвольная матрица s*n. Выбираем в матрице произвольно k строк и k столбцов (k£min(s,n)). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Замечание. Если все миноры k-го порядка матрицы А равны 0, то равны 0 и все миноры более высоких порядков, так как любой минор k+1 порядка раскладывается на сумму произведений миноров k-го порядка на их алгебраические дополнения.

Теорема. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен r. Не нарушая общности доказательства, можно считать, что минор D¹0 стоит в левом верхнем углу матрицы А

,

D¹0. Первые r столбцов матрицы А будут линейно независимы. Если предположить, что система r векторов-столбцов линейно зависима, тогда хотя бы один из векторов-столбцов является линейной комбинацией остальных. Это же будет верно и для векторов-столбцов из минора r-го порядка, тогда D=0, что противоречит выбору D.

Докажем, что всякий j-ый столбец матрицы А (r<j£n) будет линейной комбинацией первых r столбцов. Возьмем произвольное i такое, что 1£i£S,

и построим вспомогательный определитель (r+1)-го порядка, полученный окаймлением минора D элементами j столбца и i строки.

Очевидно, что для любого i D_i =0. Действительно, если i>r, то D_i минор r+1 порядка, и, следовательно, по условию, равен 0. Если 1£ i£ r, то в определителе D_i будет две одинаковых строки, и, следовательно, он равен 0.

Разложим определитель D_i по последней строке

D_i= a_i1A₁+ a_i2A₂+ ...+a_irA_r+a_ijD, где

так как D_i =0, а D¹0, то получим

a_i1A₁+ a_i2A₂+ ...+a_irA_r+a_ijD=0,

откуда

.

Это равенство справедливо для любого i(1£i£S), и коэффициенты не зависят от i, следовательно, j столбец матрицы А будет равен сумме ее первых r столбцов, взятых с коэффициентами

Таким образом, в системе векторов-столбцов матрицы А мы нашли максимальную линейно независимую подсистему, состоящую из r столбцов. По определению, ранг матрицы А равен r.

Замечание. При доказательстве теоремы мы доказывали равенство 0 всех миноров (r+1)-го порядка, окаймляющих минор r-го порядка, отличный от нуля и не рассматривали остальные миноры r-го порядка. Этого оказалось достаточно для доказательства справедливости утверждения.

Поэтому на практике для вычисления ранга матрицы действуют по следующему алгоритму:

1) если все элементы матрицы равны 0, то rang A=0. Если в матрице есть элементы, отличные от 0, то вычисляем миноры 2-го порядка;

2) если все миноры 2-го порядка равны 0, то rang A=1. Если нашелся минор 2-го порядка, отличный от 0, то вычисляем миноры 3-го порядка, окаймляющие найденный ненулевой минор 2-го порядка;

3) если все миноры 3-го порядка равны 0, то rang A=2. Если найдется минор 3-го порядка, отличный от 0, то вычисляем миноры 4-го порядка,

окаймляющие найденный ненулевой минор 3-го порядка и т.д.;

4) если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие найденный ненулевой минор k-го порядка, равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример. Найти ранг матрицы

Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от 0.

=-9+5=-4¹0

Рассмотрим миноры третьего порядка, окаймляющие данный,

= -45-45-2+9+18+25¹0;

теперь рассмотрим миноры 4-го порядка, окаймляющие минор d₃

0;

=0

Оба минора 4-го порядка, окаймляющие минор d₃, равны 0, следовательно, rangА=3.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Доказать самостоятельно.

Следствие 2. Определитель n-го порядка тогда и только тогда равен 0, когда между его строками существует линейная зависимость.

Доказать самостоятельно.

Если не существенно, какие строки (или столбцы) матрицы А входят в максимально линейную независимую систему, то для вычисления ранга матрицы можно применить другой способ. Рассмотрим этот способ.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

1) транспозиция этих строк (столбцов);

2) умножение строки (или столбца) на произвольное, отличное от 0, число;

3) прибавление к любой строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство

1,2) Матрицу А можно рассматривать как систему векторов-строк (столбцов), меняя местами любые два вектора этой системы или умножая один из них на число, отличное от нуля, мы получим систему векторов, эквивалентную данной, следовательно, имеющую тот же ранг, что и матрица А.

3) К j строке прибавим i строку, умноженную на k. Если до преобразования матрица А состояла из векторов-строк

a₁, a₂,...,a_i,...,a_j,...,a_n , (1)

то после преобразования строками матрицы А будут векторы

a₁, a₂,...,a_i,...,a_j+ka_i,...,a_n . (2)

Эта система векторов линейно выражается через систему (1), а система (1) линейно выражается через систему векторов (2), тогда система (1) эквивалентна системе (2), следовательно, их максимально линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число векторов.

Определение. Говорят, что матрица А размерности s´n имеет диагональную форму, если все ее элементы равны 0, кроме элементов a₁₁, a₂₂, ..., a_rr, где 0£r£min(s,n), равных 1.

Ранг матрицы А, имеющей диагональную форму, равен r (числу отличных от нуля элементов на главной диагонали).

Предложение. Всякую матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональной форме.

Доказательство

Если все элементы равны 0, то матрица диагональная. Если есть элементы, отличные от 0, то транспозицией строк и столбцов добиваемся того, что a₁₁¹0. К j столбцу (j=2,3,...,n) прибавим первый, умноженный на

, "j=2,3,...,n,

аналогично к каждой строке, начиная со второй, прибавим первую, умноженную на

k= , "i=2,3,...,s.

Умножив все элементы первой строки на , получим матрицу

Продолжив рассуждения для матрицы порядка (s-1)´(n-1), стоящей в правом нижнем углу, получим матрицу диагонального вида.

Пример. Вычислить ранг матрицы

Умножим первую строку на 0,5, получим матрицу

К первому и третьему столбцам прибавим первый, умноженный на (-1), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-2), получим матрицу

Второй столбец умножим на (-1) и прибавим к четвертому, к третьей и четвертой строкам прибавим вторую, умноженную на (-1), получим матрицу

Третий столбец умножим на (-0,5), затем к четвертому прибавим третий, умноженный на (-1), к пятому столбцу прибавим третий, получим матрицу

Таким образом, rang A=3.