Пример 5.

Найти напряженность Е и потенциал j в центре полукольца радиусом R = 5 см, по которому равномерно распределен заряд q = 3× Кл.

Для определения напряженности и потенциала j в центре полукольца воспользуемся принципом суперпозиции.

Разделим полукольцо на малые элементы дуги так, чтобы заряд каждой точки дуги можно было считать точечным.
Выберем два произвольных симметрично расположенных относительно 00^/ элемента дуги (рис. 9). Напряженности электрического поля в точке 0, создаваемые выбранными элементами и . Согласно принципу суперпозиции Из соображений симметрии следует, что алгебраическая сумма проекций напряженностей поля выбранных элементов на ось 0у равна нулю. Результирующее поле направлено вдоль оси 0х:

.

Так как то .

Рис. 9

Положение точечного заряда dq на полукольце определяется углом a. Поэтому угол a выбираем в качестве переменной интегрирования:

;

.

Потенциал j в центре полукольца определяется алгебраической суммой потенциалов электрического поля dj элементарных зарядов (согласно принципу суперпозиции).

Учитывая, что dj точечного заряда , где , определяем j:

; В.