Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638


Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6.81 + 3.80 = 51.


Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 438 : 168


Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;

2,48 = 2.80 + 4.8-1 = 2,5.

 

1.6. Упражнения

1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.

 

2. Какие целые числа следуют за числами:

а) 12; е) 18; п) F16;
б) 1012; ж) 78; м) 1F16;
в) 1112; з) 378; н) FF16;
г) 11112; и) 1778; о) 9AF916;
д) 1010112; к) 77778; п) CDEF16 ?

3. Какие целые числа предшествуют числам:

а) 102; е) 108; л) 1016;
б) 10102; ж) 208; м)2016;
в) 10002; з) 1008; н) 10016;
г) 100002; и) 1108; о) A1016;
д) 101002; к) 10008; п) 100016 ?

4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?

5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

o а) в двоичной системе;

o б) в восьмеричной системе;

o в) в шестнадцатеричной системе?

6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100x = 1 · x2 + 0 · x1 + 0 · x0, 21x = 2 · x1 + 1 · x0, 24x = 2 · x1 + 4 · x0. Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2 - 4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.

Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.

7. В какой системе счисления справедливо следующее:

o а) 20 + 25 = 100;

o б) 22 + 44 = 110?

8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 10110112; е) 5178; л) 1F16;
б) 101101112; ж) 10108; м) ABC16;
в) 0111000012; з) 12348; н) 101016;
г) 0,10001102; и) 0,348; о) 0,А416;
д) 110100,112; к) 123,418; п) 1DE,C816.

10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206,12510.

11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111,01112; г) 1011110011100,112;
б) 1110101011,10111012; д) 10111,11111011112;
в) 10111001,1011001112; е) 1100010101,110012.

12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116; д) 1ABC,9D16.

13. Выпишите целые числа:

o а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе;

o б) от 2023 до 10003 в троичной системе;

o в) от 148 до 208 в восьмеричной системе;

o г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.

14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 10111012 и 11101112; д) 378 и 758; и) A16 и F16;
б) 1011,1012 и 101,0112; е) 1658 и 378; к) 1916 и C16;
в) 10112, 112 и 111,12; ж) 7,58 и 14,68; л) A,B16 и E,F16;
г) 10112 , 11,12 и 1112; з) 68, 178 и 78; м) E16, 916 и F16.

18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):

20. Вычтите:

а) 1112 из 101002; д) 158 из 208; и) 1А16 из 3116;
б) 10,112 из 100,12; е) 478 из 1028; к) F9E16 из 2А3016;
в) 111,12 из 100102; ж) 56,78 из 1018; л) D,116 из B,9216;
г) 100012 из 1110,112; з) 16,548 из 30,018; м) ABC16 из 567816.

21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

а) 1011012 и 1012; д) 378 и 48;
б) 1111012 и 11,012; е) 168 и 78;
в) 1011,112 и 101,12; ж) 7,58 и 1,68;
г) 1012 и 1111,0012; з) 6,258 и 7,128.

22. Разделите 100101102 на 10102 и проверьте результат, умножая делитель на частное.

23. Разделите 100110101002 на 11002 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.

24. Вычислите значения выражений:

o а) 2568 + 10110,12 . (608 + 1210) - 1F16;

o б) 1AD16 - 1001011002 : 10102 + 2178;

o в) 101010 + (10616 - 110111012) 128;

o г) 10112 . 11002 : 148 + (1000002 - 408).

25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

o а) 748, 1100102, 7010, 3816;

o б) 6E16, 1428, 11010012, 10010;

o в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010;

o г) 10010, 11000002, 6016, 1418.

26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, ..., -3 в однобайтовом формате:

o а) в прямом коде;

o б) в обратном коде;

o в) в дополнительном коде.

27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.

28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.

29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.

30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.

31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:

а) 9 - 2; г) -20 - 10; ж) -120 - 15;
б) 2 - 9; д) 50 - 25; з) -126 - 1;
в) -5 - 7; е) 127 - 1; и) -127 - 1.