Задача Д9

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом P1 и P2с радиусами ступеней R1 = R, r1 = 0,4R, R2 = R, r2 = O,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) и грузов или сплошных однородных цилиндрических катков 3, 4, 5 весом Р3, Р4, Р5соответственно (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскос- тям без трения, а катки катятся без скольжения.

Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила F, а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные мо- менты сил сопротивления, равные соответственно M1 и M2.

Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить из него величину, указанную в таблице в столбце „Найти", где обозначе- но: ε1, ε2— угловые ускорения шкивов 1 и 2, ωc1, ωc2, ωc3- ускоре- ния центров масс тел 3, 4, 5 (если тело 3 или 4 — груз, то ωc3 = ω3, ωc4= ω4 , где ω3и ω4 — ускорения соответствующих грузов). Когда в задаче надо определить ε1 или ε2, считать R = 0,25 м.

Тела 3, 4, вес которых равен нулю, на чертеже не изображать. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему, их всегда изображать.

Указания.Задача Д9 — на применение к изучению движения системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну степень свободы, следова­тельно, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение.

За обобщенную координату q принять: в задачах, где требуется опреде­лить Vc1, Vc2, или Vc3— перемещение хцентра масс С соответствующего катка или перемещение груза; в задачах, где требуется определить ε1или ε2, — угол поворота φ соответствующего шкива.

Для составления уравнения вычислить сначала кинетическую энергию Т системы (как в задаче Д4) и выразить все вошедшие в Т скорости через обобщенную скорость, т. е. через х, если обобщенная координата х, или че­рез φ, если обобщенная координата φ. Затем вычислить обобщенную силу Q. Для этого сообщить системе возможное (малое) перемещение, при котором выбранная координата, т. е. х (или φ), получает положительное приращение δх(или δφ ), и вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении; в полученном равенстве надо все другие элементарные перемещения выразить через δх (или через δφ, если обобщенная координата φ) и вынести δх (или δφ) за скобки. Коэффициент при δх: (или δφ) и будет обобщенной силой Q .

 

Таблица Д10

Номер условия P1, Кн P2, Кн P3, Кн P4, Кн P5, Кн M1, Кн м M2, Кн м F, Кн Най-ти
10P 4Р ЗР 0,2PR 10Р ωc3
8Р 4Р 2Р 0,3PR 8P ωc5
8P 2P Р 0,3PR 6Р ε2
10Р ЗР 2Р 0,2PR 10P ωc3
8P 6P ЗР 0,4PR 0,3PR 8Р ωc4
10P 2P 4Р 0,4PRR 8Р ε1
8Р ЗР 5Р 0,2PR 6Р ωc6
6Р 4Р ЗР 0,ЗРR 4Р ε2
6Р 5Р 4Р 0,2РR 6Р ε1
6Р 5Р 6Р 0,2PR 10Р ωc5

Рис.Д9.0 Рис.Д9.1
Рис.Д9.4 Рис.Д9.5
Рис.Д9.8 Рис.Д9.9
Рис.Д9.6 Рис.Д9.7
Рис.Д9.2 Рис.Д9.3