Мысал 1.

Үш өлшемді стационар емес диффузия теңдігі, интегралдау облысы — параллелепипед. Вертикаль бағытта (ось 0z ),диффузиия коэффициенті вертикаль жазықтықта координатасы арқылы тәуелді, геофизика есебіне арналған, — горизонталь жазықтықтағы диффузия коэффициенті. Есеп мына түрде берілген

Қарастырылатын үш өлшемді есеп , бір өлшемді есепке сәйкестендіріледі.Бірінші есеп мына түрде

Олар вертикаль жазықтықтағы диффузияны сипаттайды. Екінші, үшінші есептің өзін жазамыз

Енді дифференциалдық теңдік үшін әр түрлі аппроксимацияны қарастырамыз.

Әр түрліКомпоненттік екі циклды ыдырау әдісі мынаны қарастырады

 

Мысал 2. Жүктелген стационар емес ауысым және и диффузия теңсіздігі

 

мұнда операторлар анықталған

Мұнда v1, v2, v3 — компонентті векторлық жылдамдық , u —субстанция концентрациясы, — сыртқы ортадағы субстанция коэффициенті . Ыдырау схемасын мына түрде көз алдымызға елестетеміз.

Әр түрлі операторлар аппроксимацияланады, сәйкесінше жергілікті – бір өлшемді дифференциалдық операторларда. Қарастырылатын есеп үшін

 

Қарастырылып отырған есептің әр этабында физикалық процесстің ыдырауы жүргізілген. Екі өлшемді конвекция теңдігі - диффузия

компонент жылдамдығы ортаның жылдамдығы v1, v2 теңдігін қанағаттандырады.

Ыдырау есебінің бірінші этабы физикалық ауысым процесімен байланысты, онда теңсіздік аналогы шешіледі.

Ыдыраудың екінші этабы диффузия процессін сипаттайды.

 

Мысал 3. Газдық динамика теңсіздігінің ыдырауы

 

u1 , u2 — компоненттік вектор жылдамдығы , P — газ қысымы, — жазықтық, — ішкі энергия.

Бірінші (Эйлер) этап. Тек қана биіктік өлшенеді, бүтін ұяшыққа қатысты, ал сұйықтық ішкі ұяшықтың торы ретінде саналады. Есеп формула бойынша, теңсіздік аппроксимацияланады

 

Екінші (Лагранж) этапта шекара арқылы газ жылдамдығың массасы, эйлер ұяшығы, импульс, энергия өтеді, газ параметрін анықтайды.; определяются поля. Теңсіздік аппроксимацияланады

 

 

8.4. Факторлар операторының ыдырау әдісі

8.4.1. Факторланған ыдырау схемасы

Дифференциалдық теңдеуді шешу үшін берілсін

әр түрлі схема қолданылады , онда n = 0, 1, ... Есептеу үшін Fn , O(N) алсақ, арифметикалық саны N торының санына прапорционал. Мұндай оператор экономикалық деп аталады.

Егер (i = 1, 2, ..., N) – экономикалық оператор болса, онда . Бұл схеманы факторланған оператор схемасы деп атаймыз , егер ол мына түрде болса

Бұл схема экономикалық болады, сондай – ақ әр түрлі теңсіздік шешу үшін, бұрынғыша O(N) қажет болады. Мәселен, теңсіздік шешімі

Қорытынды кезінде шешімі табылған

 

мұнда i = 2, 3, ..., N. Онда un + 1 = un. Есепке ескертпелер енгізілген - аралық мағына.

Факторлық оператор схемамен бірге, кей жағдайда факторлық схема деп аталады. Тұрақты схема факторлық оператор , сондай – ақ ақырлы оператор , экономикалық схема табылады.

Мысал. Ауыспалы бағыт әдісі. Сызықтық екі өлшемді жылулық теңдігін келтіреміз. Санаулы формулалары бар

 

Онда un + 1/2 қоса алғанда, операторлық формада аламыз

 

және , онда

факторлық ыдырау схемасы ретінде ұсынылады:

8.4.2. Жақын фактордың анық емес ыдырау схемасы

Анық емес схеманы қарастырамыз

(8.7)

Анық емес схеманы (8.7) түрінде береміз

(8.8)

(8.8) схемасын жақын нүктеге дейін анықтаймыз, тәртіп реті Ол үшін (8.8) ауыстырамыз, оператор факторлық

ескертпе енгізілген кезде

Қорыта келе анық емес факторлық схемаға жақындаймыз

әлде

Бұл схема шартты тұрақты, аппроксимацияның бірінші ретін қарастырады.

8.4.3. Предиктор – корректор әдісі

Негізгі әдіс идеясы " Предиктор – корректор әдісі "мағынасы мынада.Әр бөлімде [tn, tn + 1]есеп екі жолмен шешіледі: бірінші аппроксимация схемасы бойынша және ерекше шарт уақыт аралығы — предиктор. Екінші этапта жоғары ретпен шешімі жазылады - корректор. Негізгі идеясы Рунге – Кутта әдісіне ұқсайды.

Келесі ыдырау схемасы ретінде қарастырамыз:

 

Егер бұл ыдырау схемасын қоссақ un + 1/4, онда санаулы формула ретін аламыз

Ары қарай, , мынаны аламыз

Егер мына шарт орындалса

, , әр түрлі схеманың коэффициенті уақытқа тәуелді болмайды, онда дифференциалдық шешім шартты, екінші ретпен аппроксимацияланады.

Ары қарай қарастыратынымыз суммалық оператор ретінде ұсынылады

Егер бұл оператор шартты болса. Бұл әдісті санаулы формуламен жазуға болады.

Бұл теңдік аралық этаптан кейін, бір теңдікке ығысады

Схема құрылымына мысал келтірейік. Стационар емес үш өлшемді жылулық теңсіздігі

Келесі теңдікті аламыз

Алдымызда канондық түрдегі схема

Схема шартты тұрақты, аппроксимацияның екінші ретінде қолданылады және hi бойынша.Практикалық есеп шешуде жиі қолданылады.Канондық схема түрі теориялық зерттеу кезінде өте қолайлы. .

 


 

 

Курсқа арналған кітаптар

1. Лобанов А.И., Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, 2006

Әдебиеттер тізімі

 

 

1. В.С.Рябенький Введение в вычислительную математикуМ.: Физматлит, 2000. 294 с

2. Н.В.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков Численные методыМ: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 632 с

3. В.И.Косарев 12 лекций по вычислительной математикеМ.: Изд-во МФТИ, Физматкнига, 2000. 220 с

4. А.А.Самарский Введение в численные методыМ.: Наука, 1997. 234 с

5. А.А.Амосов, Ю.А.Дубинский, Н.В.Копченова Вычислительные методы для инженеровМ.: Высшая школа, 1994. 544 с

6. Д. Каханер, К.Моулер, С.Нэш Численные методы и программное обеспечениеМ.: Мир, 1998. 575 с

7. Воеводин В.В Вычислительные основы линейной алгебрыМ.: Наука, 1977. 303 с

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисленияМ.: Мир, 1999. 548 с

9. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложенияМ., Мир, 2001. 429 с

10. Фадеев А.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.СПб.: Лань, 2002. 736 с

11. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисленияМ.: Наука, 1984. 320 с

12. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебрыМ.: Наука, 1980. 240 с

13. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебрыНовосибирск, Наука, 1993. 158 с

14. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравненияМ.: Высшая школа, 2000. 266 с

15. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычисленийМ.: Мир, 1980. 279 с

16. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физикуМ.: Изд-во МФТИ, 1994. 526 с

17. Калиткин Н.Н. Численные методыМ.: Наука, 1978. 512 с

18. Бирюков С.И. Оптимизация. Введение в теорию. Численные методыМ.: МЗ-пресс, 2003. 244 с

19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализаМ.: Наука, 1981

20. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с Элементы теории функций и функционального анализаМ.: Наука, 1981

21. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математикаМ.: Мир, 1969. 448 с

22. Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Ч. 1 М.: МФТИ, 2004. 168 с

23. Вержбицкий В.М. Численные методыМ.: Высшая школа, 2005. 866 с

24. Шарковский А.H., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложенияКиев: Наукова думка, 1986. 279 с

25. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаосМ.: Наука, 1992. 541 с

26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математикиМ.: Наука, 1989. 608 с

27. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн - функцийМ.: Наука, 1980. 352 с

28. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А.Сплайны в инженерной геометрииМ.: Машиностроение, 1985. 224 с

29. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживанияНовосибирск: Наука, 1988. 104 с

30. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методыМ.: Наука, 1989. 430 с

31. Бабенко К.И. Основы численного анализаМ.: Наука, 1986. 744 с

32. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравненийМ.: Гостехиздат, 1956. 160 с

33. Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошной средыМ.: Наука, 1987. 320 с

34. Ши Д. Численные методы в задачах теплообменаМ.: Мир, 1988. 544 с

35. Калиткин Н.Н. и др. Математическое моделирование1994, т. 6, 1;4, с. 77 - 110, 1997, т. 9, 1;6, с. 67 - 81, 1997, т. 9, 1;9, с. 107 - 116

36. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2 М.: Физматгиз, 1962. 464 с

37. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачиМ.: Мир, 1990. 512 с

38. Curtis А.R. High - order Explicit Runge - Kutta Formula, Their Uses, and LimitationsJ.Jnst.Math.Applics. 1970. V. 16. P. 35 - 58

39. Hairer Е. A Runge - Kutta Method of Order 10J.Jnst.Math.Applics. 1978. V. 21. P. 47 - 59

40. Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge - Kutta FormulaeJ.Comp.Appl.Math. 1980. V. 6. P. 19 - 26

41. Prince P.J., Dormand J.R. High Order Embedded Runge - Kutta FormulaeJ.Comp.Appl.Math. 1981. V. 7. P. 67 - 78

42. Fehlberg E Classical Fifth - , Sixth - , Seventh and Eighth Order Runge - Kutta formulas with step size control. NASA Technical Report. 1968, 287. Extract published in // Comptuting. 1969. V. 4. P. 93 – 106. Classical Fifth - , Sixth - , Seventh and Eighth Order Runge - Kutta formulas with step size controlNASA Technical Report. 1968, 287. Extract published in // Comptuting. 1969. V. 4. P. 93 - 106

43. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально - разностные уравненияМ.: ИЛ, 1961. 248 с

44. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 3 - е изд.М.: Наука, 1984. 272 с

45. Малинецкий Г.Г. Задачи по курсу нелинейной динамики / В кн.: Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структурМ.: Наука, 1997. С. 215 - 262

46. Уатт Дж. Холл, Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравненийМ.: Мир, 1979. 312 с

47. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге - Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравненийМ.: Мир, 1988. 334 с

48. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравненияМ.: Наука, 1980

49. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебанияМ.: Наука, 1975. 248 с

50. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно - возмущенных системахМ.: Наука. Физматлит, 1995. 336 с

51. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачиМ.: Мир, 1990. 512 с

52. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально - алгебраические задачиМ.: Мир, 1999. 685 с

53. К.И. Бабенко. Теоретические основы и конструирование алгоритмов задач математической физикиМ.: Наука, 1979

54. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4 изд.М.: Наука, 1988. 552 с

55. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоковМ.: Мир, 1990. 660 с

56. Г.И. Марчук. Вычислительные процессы и системы. Вып. 8 М.: Наука, 1991. 380 с

57. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравненийМ.: Наука, 1979. 160 с

58. Лохов Г.М., Подзоров С.И., Щенников В.Вл Методы численного исследования жестких систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Уч. пособие. 2- е изд. М.: МФТИ, 1997. 140 с. Методы численного исследования жестких систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Уч. пособие. 2- е изд М.: МФТИ, 1997. 140 с.М.: МФТИ, 1997. 140 с

59. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математикаМ.: Физматлит, 2000. 296 с

60. Р. Филда, М. Бургер. Колебания и бегущие волны в химических системахМ.: Мир, 1988. 720 с

61. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный экспериментМ.: Наука, 1998 (или Эдиториал УРСС, 2000.)

62. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волныМ.: Наука. Физматлит, 1997. 496 с

63. Кондрашов А.С., Хибник А.И. Экогенетические модели как быстро - медленные системы. / В кн.: Исследования по математической биологииПущино, 1996. с. 88 - 123

64. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравненийМ.: Наука, 1978. 590 с

65. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задачМ.: Мир, 1982. 294 с

66. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамикиМ.: Наука, 1990. 230 с

67. Чанг К., Хауэрс Ф. Нелинейные сингулярно - возмущенные краевые задачиМ.: Мир, 1988. 248 с

68. Лэм Дж. Введение в теорию солитоновМ.:Мир, 1981. Могилев: Бибфизмат, 1997. 294 с

69. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волныМ.: Наука - Физматлит, 1997. 496 с

70. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы, введение в теориюМ.: Наука, 1977. 400 с

71. Самарский А.А. Теория разностных схемМ.: Наука, 1983. 656 с

72. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус Г.П. Разностные схемы с операторными множителямиМинск, 1998. 441 с

73. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физикиМ.: Научный мир, 2003. 316 с

74. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математикеМ.: Наука, 1992. 128 с

75. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физикиМ., Изд - во МГУ, 2002

76. Владимиров В.С. Уравнения математической физикиМ.: Наука, 1984

77. Соболев С.Л. Уравнения математической физикиМ.: Наука, 1992

78. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравненийМ.: Наука, 1987. 480 с

79. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаосМ.: Наука, 1992. 544 с

80. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью. / В кн.: Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователейМ.: Едиториал УРСС, 2005. 512 с

81. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физикиНовосибирск: Наука, 1967. 196 с

82. Марчук Г.И. Методы расщепленияМ: Наука, 1988. 263 с

83. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2 - х т., Т.1: Пер. с англ.М.: Мир, 1990. 384 с

84. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волныМ.: Наука - Физматлит, 1997. 496 с

85. Хайрер Э., Нернсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачиМ.: Мир, 1990. 512 с

86. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. 3 - е изд.М.: Наука. Физматлит, 1998. 232 с

87. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравненийМ.: Наука, 1982. 302 с

88. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамикеНовосибирск, Наука, 1985. 364 с

89. Борис Дж.П., Бук Д.Л. Решение уравнения непрерывности методом коррекции потоков. / В кн. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтезМ.: Мир, 1980. с. 92 - 141

90. Boris J.P. Book D.L.J. Comput. Phys., 1973, Vol. 11, pp. 38 - 69

91. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло - и массообменаМ.: Наука, 1984. 288 с

92. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравненийМ.: Физматлит, 2001. 608 с

93. Магомедов М. - К.М., Холодов А.С. Сеточно - характеристические численные методыМ.: Наука, 1988. 288 с

94. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы, введение в теориюМ.: Наука, 1977. 400 с

95. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостейМ.: Мир, 1991. 240 с

96. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных средМ.: Физматлит, 1994. 442 с

97. Лобанов А.И., Петров И.Б., Старожилова Т.К. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. ч. II. Учебное пособиеМ.: МФТИ, 2002. 154 с

98. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамикеМ.: Наука, 1978. 687 с

99. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математикеМ.: Наука, 1992. 128 с

100. Галанин М.А. Численное решение уравнения переноса. / В кн.: Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователейМ.: Едиториал УРСС, 2005. 512 с

101. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоковМ.: Мир, 1990. 661 с

102. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1, 2. М.: Наука, 1976

103. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газаМ.: Дрофа, 2003. 840 с

104. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамикиМосква - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с

105. Попов Ю.П. О консервативности разностных схем. / В кн.: Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователейМ.: Едиториал УРСС, 2005. 512 с

106. Магомедов М. - К.М., Холодов А.С. Сеточно - характеристические численные методыМ.: Наука, 1988. 288 с

107. Годунов С.К., Забродин А.В. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамикиМ.: Наука, 1976. 400 с

108. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравненийМ.: Наука, 1978. 687 с

109. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач газовой динамики. Вычислительные методы в гидродинамикеМ.: Мир. 1967. 460 с

110. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостейМ.: Мир, 1991. 240 с

111. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообменМ.: Мир, 1990. т. 1, 2

112. Courant T.R., Isacson Е, Rees М. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differencesCommun. Pure and Appl. Math. 1952. v. 5. 1;5. РР. 243 - 254

113. Yce H.C. Construction of Explicit and Implicit Symmetric TVD Schemes and Their ApplicationsJ. of Comp. Physics. 1987. Vol. 68. РР. 151 - 179

114. Гущин В.А., Коньшин В.Н. Численное моделирование волновых движений жидкости. Сообщения по прикладной математикеПрепринт ВЦ АН СССР. 1985. 36 с

115. Петров И.Б., Холодов А.С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типаЖВМиМФ. 1984. т. 24. 1; 8. С. 1172 - 1188

116. Leer B.Van Towards the ultimate conservative difference scheme. II. Monotonicity and conservation combined in a second - order schemeJ. of Appl. Phys. 1974. v. 14. 1; 4. РР. 361 - 370

117. Магомедов М. - К.М., Холодов А.С. Сеточно - характеристические численные методыМ.: Наука, 1988. 288 с

118. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типаЖВМиМФ. 1980. т. 20. 1; 6. С. 1601 - 1620

119. Магомедов К.М., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношенийЖВМиМФ 1969. т. 9. 1; 2. с. 373 - 386

120. Boris J.P., Book D.L. Flux - corrected transport. I. Shasta a fluid transport algorithm that worksJ. of C. Ph. 1973. Vol 11. 1; 1. РР. 38 - 69

121. Воробьев О.В., Холодов А.С. Об одном методе численного интегрирования одномерных задач газовой динамикиМатематическое моделирование. 1996. т. 8. 1;1. С. 77 - 92

122. Lax P.D. Wendroff Difference schemes for hyperbolic equations with high orders of accuracyComm. Pure. Appl. Math. 1964. v. 17. 1; 3. РР. 381 - 398

123. Vyaznikov K.V., Tishkin V.F., Favorskii A.P. One way to Construct Higher - Order Accurate Monotonic Difference Schemes for Systems of Hyperbolic EquationsMMCE. 1994. v. 2. 1; 2. РР. 189 - 212

124. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Квазимонотонные разностные схемы высокого порядка точностиПрепринт ИПМ АН СССР. 1987. 1; 36. 27 с

125. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно - разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамикиУченые записки ЦАГИ. 1972. т. 3. 1; 6. С. 68 - 77

126. Harten A.J. High resolution schemes for hyperbolic conservation lawsJ. Comput. Phys. 1983. v. 49. РР. 357 - 393

127. Родионов А.В. Повышение порядка аппроксимации схемыЖВМиМФ. 1987. т. 27. 1; 12. С. 1853 - 1860

128. Bovrel M., Montagne J.L. Numerical study of a non - centered scheme with application to aerodynamicsAIAA Paper. 1985. 1;. 85 - 1497. [Idem, in AIAA 7th Comput. Fluid Dyn. Conf. Cincinnati, Ohio, 1985, July 15 - 17. A Collect. Techn. Papers, 88 - 97, AIAA, New York]

129. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамикиТр. МИАН СССР, 1966. Т. 74. С. 107 - 137

130. Родионов А.В. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного расчета неравновесных теченийЖВМиМФ. 1987. т. 27. 1; 4. С. 585 - 593

131. Leer B.Van. On the relation between the upwind - differencing schemes of Godunov, Engquist - Osher and Roe.SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1984. vol. 5. 1; 1, РР. 1 - 20

132. Engqist B., Osher S. One - sided difference approximations for nonlinear conservation lawsMath. Comput. 1981. vol 36. 1; 154. РР. 321 - 351

133. Osher S. Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic system of conservation lawsIn: North Holland Mathematical Studies. 1981. vol. 47. РР. 179 - 205

134. Roe P.L. The use of the Riemann problem in finite differencesLect. Notes Phys. 1981

135. Proc.7th Int.Cont.Numer.Meth.Fluid Dynamics. June 23-27. 1980. vol.141. РР.354-359

136. Roe P.L. Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference schemesJ. Comput. Phys. vol. 43. 1; 2. РР. 357 - 372

137. Miller G.N., Pucket E.G. A high - order Godunov method for multiple condensed phases
J. Comp. Phys. 1996. vol. 128. 1; 1. РР. 134 - 164

138. Miller G.N., Colella P. A high - order eulerian Godunov method for elastic - plastic flow in solidsJ. Comp. Phys. vol. 167. 1; 1. РР. 131 - 176

139. Leer B.Van. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A. second - order sequel to Godunov's methodJ. Comp. Phys. 1979. v. 32. 1; 1. РР. 101 - 136

140. Меньшов И.С. Повышение порядка аппроксимации схемы Годунова на основе решения обобщенной задачи РиманаЖВМиМФ. 1990. т. 30. 1; 9. С. 1357 - 1371

141. Моисеев Н.Я. Об одном способе повышения точности решений в разностных схемых, построенных на основе метода С.К. ГодуноваВопросы атомной науки и техники. Сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики. 1988. вып.1. С. 38 - 45

142. A. Harten. ENO Schemes with Subcell ResolutionJournal of Computational Physics.1989. v. 83. pp. 148 - 184

143. Harten A. Uniformly High Order Accurate Essentially Non - oscillatory SchemesJ. of Comp. Ph. 1987. vol. 71. РР. 231 - 303

144. Jee N.S. Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and their applicationJ. Comp. 1987. v. 68. 1; 1. РР. 151 - 179

145. Ершов C.B. Монотонная ENO - схема повышенной точности для интегрирования уравнений Эйлера и Навье – СтоксаМатематическое моделирование. 1994. Т. 6. 1; 11. С. 63 - 75

146. Ильин С.А., Тимофеев Е.В. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета на задаче Коши для одномерного линейного уравнения переноса
Математическое моделирование. 1992. Т. 4. 1; 3. С. 62 - 75

147. Марчук Г.И. Методы вычислительной математикиМ., Наука, 1989. 608 с

148. Иванов В.Д., Косарев В.И. и др. Лабораторный практикум "Основы вычислительной математики"М.: МЗ Пресс, 2003. 193 с

149. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физикиМ.: Научный мир, 2003. 316 с

150. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложенияМ., Мир, 2001. 429 с

151. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, Том 1 М. Наука, 2005. 343 с

152. Холодов А.С. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязными границамиМатематическое моделирование. 1991. Т. 3. 1; 9. С. 104 - 113

153. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схемМ.: Наука, 1979. 320 с

154. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкостиМ.: Мир, 1973. 758 с

155. Марчук Г.М., Агошков В.И. Введение в проекционно - сеточные методыМ.: Наука, 1981. 414 с

156. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементовМ.: Мир, 1977

157. Ши Д. Математическое моделирование задач тепло - и массообменаМ.: Мир, 1988. 544 с

158. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и техникеМ.: Мир, 1985. 590 с

159. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Методы расщепления в задачах газовой динамикиНовосибирск: Наука, 1981. 263 с

160. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально - алгебраические системыМ.: Мир, 1999. 685 с

161. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисленияСПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с

162. Воеводин В.В. Параллельные структуры алгоритмов и программМ.: ОВМ АН СССР, 1987. - 148 с

163. Фаддеева В.Н., Фаддеев Д.К. Параллельные вычисления в линейной алгебреКибернетика. 1982. 1; 3. С. 18-31, 44

164. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физикиМ.: Наука, 1999. 319 c

165. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессахМ.: Наука, 1986. 296 с