Тема: Гомоморфизм групп. Изоморфные группы.
Основные понятия: гомоморфизм групп; ядро гомоморфизма, образ гомоморфизма, изоморфизм циклических групп, эпиморфизмы циклических групп.
Задание 1. Доказать, что данное отображение 
является гомоморфизмом. Найти ядро и образ гомоморфизма.
1.1. 
1.2. 
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
1.7. 
1.8. 
1.9. 
1.10. 
1.11. 
1.12. 
Задание 2. Изоморфны ли циклические группы 
, где
2.1. 
; 
;
2.2. 
; 
;
2.3. 
; 
2.4. 
; 
;
2.5. 
; 
;
2.6. 
; 
;
2.7. 
; 
;
2.8. 
; 
;
2.9. 
; 
;
2.10. 
; 
;
2.11. 
; 
;
2.12. 
; 
.
Задание 3. Найти все эпиморфизмы группы 
на группу 
.
3.1. n = 28, m = 7; 3.2. n = 30 , m = 15;
3.3. n = 42, m = 14; 3.4. n = 18, m = 9;
3.5. n = 20 , m = 5; 3.6. n = 36, m = 9;
3.7. n = 40 , m = 8; 3.8. n = 16, m = 8;
3.9. n = 50, m = 10; 3.10. n = 30, m = 10;
3.11. n = 22 , m = 11; 3.12. n = 42, m = 7.
Задание 4.
4.1. Доказать, что гомоморфный образ циклической группы есть циклическая группа.
4.2. Доказать, что гомоморфный образ коммутативной группы есть коммутативная группа.
4.3. Доказать, что при гомоморфном отображении порядок образа элемента делит порядок прообраза.
4.4. Доказать, что композиция двух гомоморфизмов также является гомоморфизмом.
4.5. Привести пример фигуры на плоскости, группа симметрий которой изоморфна группе Z3 .
4.6. Привести пример фигуры на плоскости, группа симметрий которой изоморфна группе S3.
4.7. Привести пример фигуры на плоскости, группа симметрий которой изоморфна группе Z5*.
4.8. Доказать, что отображение 
, где а - фиксированный элемент группы G, является автоморфизмом группы G.
4.9. Доказать, что множество всех внутренних автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции.
4.10. Найти все автоморфизмы циклической группы.
4.11. Доказать, что всякая некоммутативная группа порядка 6 изоморфна группе S3.
4.12. Пусть G - ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном промежутке содержится лишь конечное число ее элементов. Доказать, что группа G изоморфна группе 
.