Задание 3 (дополнительное). Определение входных и взаимных проводимостей ветвей, проверка принципа обратимости (взаимности) и теоремы вариаций.

При изучении свойств линейных электрических цепей пользуются входными и взаимными проводимостями.

Если в пассивной схеме выделить две ветви, обозначив их m и k и поместить в m ветвь источник ЭДС Еm , то она вызовет в этой ветви ток Im= Еm gmm, а в k ветви ток Iк= Еm gkm., где gmm и gkm – коэффициенты имеющие размерность проводимостей. При этом gmm – называют входной проводимостью ветви m, а gkm – взаимной проводимостью k и m ветвей.

Очевидно, что , а .

 

 

Схема 3-1. Проверка принципа обратимости (взаимности).

Принцип обратимости (взаимности) является одним из свойств линейных электрических цепей.

Теорема: Если источник ЭДС, находящийся в ветви m пассивной электрической цепи, вызывает в ветви k электрический ток, то тот же источник ЭДС, перемещенный в ветвь k вызывает в ветви m ток той же величины.

В линейной цепи, согласно этой теореме, ток Ik от действия ЭДС Em, будет равен току Im, который вызван ЭДС Ek. То есть, если Ek=Em, то Ik=Em gkm и Im=Ek gmk равны, так как определитель матрицы сопротивлений (проводимостей) ∆mk = ∆km. Таким образом, gkm= gmk

Для подтверждения этого принципа рассмотрим две схемы, которые будут отличаться только местонахождением источника в первой или второй ветвях. Рассчитаем значения токов в тех ветвях этих схем, где нет источника. Покажем, что ток I1 в первой ветви одной схемы будет равен току I2 во второй ветви другой схемы, I1(Е2)=I2(Е1). То есть источник, находясь во второй ветви, вызывает первой ветви такой же ток, какой он бы вызвал во второй ветви, находясь в первой ветви.

Задание

1. Рассчитать значения токов и , а также значения проводимостейg12= g21 при напряжении источника 2 В и частоте 16 кГц.

Примечание:

1. Фазу источника принять за нуль.

2. При расчётах воспользуйтесь наиболее удобной методикой расчёта.

3. Рекомендуемая таблица записи результатов.

Данные ω, рад/с Aejφ1 φ1 Aejφ1 Aejφ2 φ2 Aejφ2 g12 g21
Расчёт. 6·104 р/с 2ej0                
Экспер.                    

 

Схема 3-2. Проверка теоремы вариации

Если выделить в схеме две ветви (назовём их 1 и 2), то приращение сопротивления на величину DR в одной ветви, например в первой, приведет к изменению токов и в этих ветвях, определяемых выражениями:

где: g11 – входная проводимость ветви с изменяемым сопротивлением ΔR;

g12 – взаимная проводимость первой и второй ветвей;

и – первоначальные токи в первой и второй ветвях,

= - – изменение тока в первой ветви при изменении её сопротивления на D R.

= - – изменение тока второй ветви при изменении сопротивления первой ветви,

где и – значения токов для сопротивления первой ветви R1 + D R.

 

Для расчётов используем один из предложенных вариантов схем.

Схема 3-2-10 (начальная) Схема 3-2-11 (после изменения R)

 

 

Схема 3-2-20 (начальная) Схема 3-2-21 (после изменения R)

 

В качестве первой ветви выбираем ветвь с источником и резисторами, а в качестве второй – ветвь с индуктивностью или ветвь с ёмкостью (в зависимости от выбранного варианта задания).

Отсюда по теореме вариации

Задание.

1. Рассчитать проводимости gRR, gLR (gCR), а также токи , ( ) по начальной схеме 3-2-10 (3-2-20). Напряжение источника 2 В и частота 16 кГц. Значение R выбрать из указанного выше варианта выполнения лабораторной работы.

2. Рассчитать , , по формулам теоремы вариации.

3. Рассчитать токи , по схеме 3-2-11 (3-2-21).