МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Как мы уже отмечали выше, структура доказательства как логическая конструкция состоит из тезиса, аргументов и демонстрации.

В демонстрации отражается характер логических связей между тезисом и аргументами. В зависимости от вида демонстрации в методической литературе часто употребляются термины «способ доказательства» и «метод доказательства». Покажем, в чем состоит их отличие.

Если доказательство утверждения отличается от другого доказательства того же самого утверждения не логической основой, а последовательностью умозаключений, то будем говорить, что утверждение доказывается двумя различными способами. Если же одно доказательство отличается от другого логической основой, то будем говорить о различных методах доказательства.

Покажем отличие метода от способа доказательства (или решения) на задачах, приведенных ниже.

Задача 1.

На рисунке 2 KM LN, ∠POM + ∠LOR = 75° и ∠KOR = 58°. Вычислить ∠РОМ и ∠LOP.

Дано: KM LN, ∠РОМ + ∠LOR = 75°, ∠KOR = 58°.

Найти: ∠РОМ и ∠LOP.

Решение

Способ 1

1) ∠ROL = 90° - ∠KOR = 90° - 58° = 32°.

2) ∠РОМ = 75° - ∠ROL = 75° - 32° = 43°.

3) ∠POL = ∠LOM + ∠MOP = 90°+ 43° = 133°.

Способ 2

1) ∠ROL = 90° - 58° = 32°.

2) ∠РОМ = 75° - 32° = 43°.

3) ∠NOP = 90°- 43° = 47°.

4) ∠POL = 180° - ∠NOP = 180°- 43° = 133°.

Способ 3

1) ∠NOР = 360° - 90° - 90° - 58° - 75° = 47°.

2) ∠POL = 180° - ∠NОР = 180° - 47° = 133°.

3) ∠РОМ = 90° - ∠NОР = 90° - 47° = 43°.

Как мы видим, в этих способах решения отличными являются лишь последовательности умозаключений.

 

Рис.2

 

Задача 2. Дан квадрат ABCD (рис. 3). Вершина квадрата D соединена с точками М и Р, которые соответственно являются серединами сторон АВ и ВС. Точка М соединена с точкой N, являющейся серединой стороны DC. Докажите, что .

Способ 1

Из чертежа имеем . Отнимем от обеих частей равенства . Получим - = - , откуда имеем .

Способ 2

Из чертежа имеем

= - - , (1)

= - - . (2)

Вычтем из равенства (1) равенство (2). Получим - = - - - + +

Учитывая, что = , последнее равенство будет иметь вид: - = - . Прямоугольник AMND разделен диагональю DM на два равных треугольника: ∆ADM=∆DMN, тогда - . Учитывая это, получим - = 0, откуда окончательно имеем = .

 

Рис. 3

 

Задача 3. К плоскости прямоугольника ABCD через точку А проведен перпендикуляр, на котором взята точка К, соединенная с точками В, С и D (рис. 4). Найти АК, если KB = 6 м, КС = 7 м, KD = 5 м.

Решение

Дано: ABCD — прямоугольник; AK ⊥ (АВС)

KB = 6 м,

КС = 7 м,

KD = 5 м.

Найти: АК.

Метод 1

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник КDC (∠KDC = 90° по теореме о трех перпендикулярах). По теореме Пифагора имеем DC = (м).

2) По свойству прямоугольника имеем AB = DC = (м).

3) Из прямоугольного треугольника АВК имеем AK = (м).

Метод 2

Введем обозначения: АВ = х, AC = z, AD = y.

1) Из прямоугольного треугольника АКВ .

2) Из прямоугольного треугольника КАС .

3) Из прямоугольного треугольника KAD .

4) Получим систему уравнений:

5) Учитывая, что , система примет вид:

 

Решив систему, получим - = -12, откуда AK (м).

Мы видим, что в основе этих двух решений лежат совершенно разные логические основы, а значит, речь должна идти о двух разных методах решения: геометрическом и алгебраическом.

 

Рис. 4

 

Задача 4. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике каждая из его диагоналей делит его площадь пополам, то он является параллелограммом.

Метод 1

В четырехугольнике ABCD (рис. 5), в котором АС и BD — диагонали, проведем BN ⊥ AC и DM АС.

Рис. 5

 

По условию . Учитывая, что = AC BN, а =

= AC DM, имеем AC BN = AC DM , откуда следует, что BN = DM. ∠MOD = ∠NOB как вертикальные, следовательно, прямоугольные треугольники BON и MOD равны по катету и острому углу, откуда имеем

BO = OD.

Аналогично доказывается равенство OC = OA. Следовательно, мы получили, что в выпуклом четырехугольнике его диагонали в точке пересечения делятся пополам, а это и означает, что четырехугольник – параллелограмм.

Метод 2

Обозначим площадь четырехугольника буквой S. Тогда по условию задачи и , откуда . И так как площади треугольников BCD и ACD равны и основанием у них является один и тот же отрезок CD, то и высоты этих треугольников будут равными. То есть мы доказали, что все точки отрезка АВ отстоят на одинаковом расстоянии от отрезка CD, а значит, АВ ∥ CD. Аналогично доказывается параллельность отрезков AD и ВС. Из того что в четырехугольнике противоположные стороны оказались попарно параллельны, мы заключаем, что он является параллелограммом.

Метод 3

Построим к предложенной задаче новый чертеж (рис. 6). Проведем через точки В и D прямые , параллельные АС, через точки А л С — прямые и , параллельные BD.

 

Рис. 6

 

Так как по условию задачи и АС — общее основание треугольников AВС и ADC, то высоты этих треугольников равны и прямые находятся на равных расстояниях от прямой . Аналогично рассуждение о прямых и .

При центральной симметрии с центром О прямая переходит в прямую , прямая переходит в прямую , а прямые и перходят сами в себя как прямые, проходящие через центр симметрии. Тогда эта центральная симметрия переведет точку В в точку D, а точка А в точку С. В силу свойства центральной симметрии AB = CD и BC = DA, а значит, по признаку параллелограмма четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Доказательство в математике и других дедуктивных науках есть цепочка правильных умозаключений, идущих от исходных для данной теории посылок, признанных истинными, к доказываемому утверждению.

Основным инструментом доказательства теорем являются умозаключения. Умозаключение — рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений (называемых посылками умозаключения) выводится новое суждение (называемое заключением или следствием), логически вытекающее из посылок.

Формой дедуктивных умозаключений, используемых при доказательстве теоремы, является силлогизм. В силлогизме содержится три понятия, а состоит он из двух посылок и вывода. Его структуру можно представить в таком виде:

Все М есть Р — большая посылка (БП);

К есть М — меньшая посылка (МП);

К есть Р — вывод (В).

Приведем пример силлогизма: «Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р). Квадрат (К) есть ромб (М). Следовательно, квадрат (К) есть параллелограмм (Р)».

Цепочка последовательно связанных силлогизмов, устанавливающая истинность теоремы, называется доказательством теоремы. В качестве примера такой цепочки силлогизмов рассмотрим доказательство теоремы из курса 8 класса: «Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды».

Дано: АВ, CD — хорды, Е — точка пересечения хорд.

Доказать: AE BE = CE DE (рис. 7).

 

Рис. 7

 

Доказательство

Силлогизм 1

БП: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

МП: Вписанные углы (∠1 и ∠2) опираются на одну и ту же дугу BMD.

В: ∠1 = ∠2.

Силлогизм 2

БП: Вертикальные углы равны.

МП: ∠3 и ∠4— вертикальные.

В: ∠3 = ∠4.

Силлогизм 3

БП: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

МП: Два угла (∠1 = ∠3) треугольника AED соответственно равны двум углам (∠2 = ∠4) треугольника СЕВ.

В: ∆AED ∆СЕВ.

Силлогизм 4

БП: В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

МП: Стороны АЕ, DE и СЕ, BE — сходственные стороны подобных треугольников AED и СЕВ.

B: .

Силлогизм 5

БП: Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

МП: АЕ и BE — крайние члены, a DE и СЕ — средние члены одной и той же пропорции.

В: AE BE = DE CE.

Проведение любого доказательства опирается на три блока знаний и умений: содержательный, структурный, логический.

В содержательный блок входят элементы, связанные с ранее изученными математическими понятиями и фактами, которые использованы или в формулировке утверждения, или в качестве аргументов при проведении рассуждений. Эти элементы существенно зависят от логической структуры курса, от его аксиоматики, от методических особенностей изложения и т. д., а поэтому для одной и той же теоремы в различных учебниках содержательный блок может оказаться различным.

В структурный блок входят знания и умения, связанные со структурой утверждения и возможностями ее преобразования. В этот блок входят умения выделять условие и заключение теоремы, преобразовывать логическую форму теоремы с целью получения более простых под теорем и т. д.

Логический блок содержит знания и умения, связанные с правилами логических рассуждений.