Задание 9.
Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений). Постройте многоугольник распределения и найдите:
а) математическое ожидание М(Х);
б) дисперсию D(Х);
в) среднее квадратическое отклонение σ;
г) функцию распределения F(х) и постройте ее график.
Х | ||||
р | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,4 |
Решение:
Построим многоугольник распределения.
Строим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие вероятности рi. Построим точки М1(23;0,3), М2(5;0,2), М3(28;0,1) и М4(29;0,4). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый прямоугольник распределения.
|
|
|
|
|
|
|
а) Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности, т.е.
.
Подставляя числовые значения, получим:
.
б) Вычислим дисперсию по формуле . Для этого нужно найти . Запишем закон распределения Х2:
X 2 | ||||
р | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,4 |
Найдем математическое ожидание :
.
Найдем искомую дисперсию:
.
в) Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
.
г) Если , то F(х) = 0. Действительно, значений, меньших числа 23, величина Х не принимает.
Следовательно, при функция F(х) = Р(Х<х) = 0.
Если 23< , то F(х) = 0,3. Действительно, Х может принять значение 23 с вероятностью 0,3.
Если 25< , то F(х) = 0,5. Действительно, Х может принять значение 23 с вероятностью 0,3 и значение 25 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,3 + 0,2 = 0,5.
Если 28< , то F(х) = 0,6. Действительно, Х может принять значение 23 с вероятностью 0,3 и значение 25 с вероятностью 0,2 и значение 28 с вероятностью 0,1; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6.
Если х > 29, то F(х) = 1. Действительно, событие достоверно и вероятность его равна единице: 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,4 = 1.
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
.
Построим график этой функции.
|
|
|
|
|
|
|