Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

i Це-на pi Ni pi Ni Спрос D(pi) D(pi)Ni Pi2Ni D(pi)piNi D*(pi) Ni[D(pi) – D*(pi)] Ni[D(pi)-D*(pi)]2
52,36 -4,718 11,12976
48,52 -1,0456 0,54664
42,77 25,852 83,54074
37,01 3,9432 3,887207
33,18 12,33 10,13526
25,51 -45,5392 296,2598
60 -9,985 19,94005
6,325 2,0262 1,368495
2,488 3,0232 4,569869
-5,18 14,368 103,2197
      0,2548 534,5975
  110,8   29,04         SS

Примечание. Здесь n = 50 – число ответов участников опроса.

 

Перейдем к расчету теоретической функции спроса:

D*(pi) = a*(p - pср.) + b*.

Необходимо найти оценки параметров a* и b*:

a* = =

= = - 0,38362,

b* = 29,04; d* = b* - a*pср.= 29,04 – (- 0,38362)*110,8 = 71,54.

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D*(p) = (-0,38362)p + 71,54.

Из табл.2 видно, что остаточная сумма квадратов SS = 534,6 (после округления). Исходя из этого, найдем оценку среднего квадратического отклонения:

= 3,27.

Затем найдем доверительные границы для функции спроса:

D*(p)верхн.\нижн. = (-0,38362)p + 71,54 1,96 =

= (-0,38362)p + 71,54 =

= (-0,38362)pi +71,54 .

Например, при p = 120

D*(120) верхн. = 25,51 + 0,9333 = 26,44,

D*(120)нижн. = 25,51 – 0,9333 = 24,57.

Таким образом, при цене 120 руб. товар купят 25-26 человек.

Возьмем теперь другую цену, например 165 руб., тогда

D*(165)верхн. = (-0,38362)165 +71,54 + 6,41 =

= 8,2427 + 1,5913 = 9,83

D*(165)нижн. = 8,2427 – 1,5913 = 6,65

Итак, при цене товара 165 руб. его купят от 7 до 10 человек.

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p0. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p - p0.) D*(p) = (p. p0.)(a*p + d*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:

,

2a*pопт.а*р0 +d* = 0,

pопт. = .

Поскольку a* = -0,38362, a d* = 71,54 ,то

pопт. = .

Как видно из последней формулы, при возрастании издержек оптимальная розничная цена также возрастает, но вдвое медленнее.

Сравним (табл.3) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (pопт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (pопт.1).

 

Таблица 3