Решение задач, в условии которых события не равновероятны

Вопрос к задачам: Почему события в задаче не равновероятные? Сравните вероятности со­бытий между собой

№1

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

Дано: N4 = 8; N6 = 24.

Найти: iч =?

Решение:

1) N = 8 + 24 = 32 - шара всего;

2) рч = 8/32 = ¼ — вероятность доставания черного шара;
3)iч = log2 ( 1/1/4) = 2 бита. Ответ: 2 бита.

№2

В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали оелый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей ныло в корзине?

Дано: N = 64; i 6 = 4.

Найти: Кб = ?

Решение:1!) i6 = log2(l/p6); 4 = log2(l/p6); 1/р6=16; рб= 1/16-вероятность доставания белого карандаша;

2) р6 = K6/N; 1/16 = К/64; Кб = 64/16 = 4 белых карандаша. Ответ: 4 белых карандаша.

 

№3

В классе 30 человек. За контрольную работу по математике получено 15 пятерок, 6 четверок, 8 троек и 1 двойка. Какое количество информации в сообщении о том, что Андреев получил пятерку?

Дано: N =30; К5 = 6; К4 = 15; К3 = 8; К2, = 1.

Найти: i 4 - ?

Решение:

1) Р4 = 15/30 = 1/2 — вероятность получения оценки «5»;

2)i 4 = log2(l/|p4) = log2(l/l/2)=1 бит. Ответ: 1 бит.

№4

Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из них 10 - синих, 5 - зеленых, 4 — желтых и 1 — красный.

Какое количество информации несут сообщения о том, что из ящика случайным образом достали черный шар, белый шар, желтый шар, красный шар?

№5

За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение о том, что он получил пя­терку, несет 2 бита информации. Сколько пятерок ученик получил за четверть?

№6

В ящике лежат перчатки (белые и черные). Среди них - 2 пары черных. Сообщение о том, что из ящика достали пару черных перчаток, несет 4 бита информации. Сколько пар белых перчаток было в ящике?

Дано: Кч = 2, i ч = 4 бита.

Найти: Кб - ?

Решение:

1) iч, = log2 (l/pч), 4 = log2 (l/pч), 1/рч = 16, рч = 1/16 - вероятность доста­вания черных перчаток;

2) рч = Kч/N, N = Кч/рч, N = 2*16 = 32 - всего перчаток в ящике;

3) К6 = N - Кч = 32 - 2 = 30 пар белых перчаток.
Ответ: 30 пар белых перчаток.

№7

Для ремонта школы использовали белую, синюю и коричневую краски. Израсходовали одинаковое количество банок белой и синей краски. Со­общение о том, что закончилась банка белой краски, несет 2 бита инфор­мации. Синей краски израсходовали 8 банок. Сколько банок коричневой краски израсходовали на ремонт школы?

Дано: Кб = Кс =8,i 6 = 2 бита.

Найти: Кк - ?

Решение:

1) i 6 = log2(l/P6), 2 = Iog2(l/p6), 1/р6 = 4, р6 = '/4 - вероятность расхода белой банки;

2) N = Кбб = 8/(1/4) = 32 - банки с краской было всего;

3) Кк.= N - К6 - Кс = 32 - 8 - 8 = 16 банок коричневой краски.
Ответ: 16 банок коричневой краски.

№8

В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Со­общение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информа­ции. Сколько всего в корзине шаров?

Дано: Кч = 16,i б = 2 бита.

Найти: N — ?

Решение:

1) 1/рб = 2', 1/р6 = 22 = 4, рб = 1/4 - вероятность доставания белого шара;

2) …Рб = Kб/N = Кб/(Кб+Кч), 1/4 = Кб/(К6+18), Кб + 18 = 4 • Кб, 18 = 3 • Кб,
Кб = 6 - белых шаров;

3) …N = Кчб = 18 + 6 = 24 шара было в корзине.
Ответ: … 24 шара лежало в корзине.

№9

На остановке останавливаются троллейбусы с разными номерами. Сообщение о том, что к остановке подошел троллейбус с номером N1 несет 4 бита информации. Вероятность появления на остановке троллейбуса с номером N2 в два раза меньше, чем вероятность появления троллейбуса с номером N1. Сколько информации несет сообщение о появлении на оста­новке троллейбуса с номером N2?

Дано: IN1 = 4 бита, pN 1 = 2 *pN2.

Найти: IN 2 - ?

Решение'.

1) 1/PN 1 = 2I N 1 = 2 4= 16, pN 1 = 1/16- вероятность появления троллейбуса N1;

2) pN1 = 2*pN 2, pN 2 = PN 1/2 = 1/32 - вероятность появления троллейбуса N2;

3) IN2 = log2(l/pN2) = Iog232 = 5 бит - несет сообщение о появлении трол-|
лейбуса N2.

Ответ: 5 бит несет сообщение о появлении на остановке троллейбуса №2.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В розыгрыше лотереи участвуют 64 шара. Выпал первый шар. Сколько информации содержит зрительное сообщение об этом?

2. В игре « лото» используется 50 чисел. Какое количество информации несет выпавшее число?

3. Какое количество информации несет сообщение о том, что встреча назначена на 3 июля в 18.00 часов?

4. Вы угадываете знак зодиака вашего друга. Сколько вопросов вам нужно при этом задать? Какое количество информации вы получите?

5. В ящике лежат фигурки разной формы - треугольные и круглые. Треугольных фигурок в ящике 15. Сообщение о том, что из ящика достали фигуру круглой формы, несет 2 бита информации. Сколько всего фигурок было в ящике?

6. В ведерке у рыбака караси и щуки. Щук в ведерке 3. Зрительное сообщение о том, что из ведра достали карася, несет 1 бит информации. Сколько всего рыб поймал рыбак?

7. Частотный словарь русского языка - словарь вероятностей (частот) появления букв в произвольном тексте — приведен ниже. Определите, какое количество информации несет каждая буква этого словаря.

 

Символ Частота Символ Частота Символ Частота Символ Частота
о 0.090 в 0.035 я 0.018 ж 0.007
е, ё 0.072 к 0.028 Ы, 3 0.016 ю, ш 0.006
а, и 0.062 м 0.026 ь, ъ, б 0.014 ц, щ, э 0.003
т, н 0.053 д 0.025 ч 0.013 Ф 0.002
с 0.045 п 0.023 и 0.012    
Р 0.040 У 0.021 X 0.009    

Используя результат решения предыдущей задачи, определите коли­чество информации в слове «КОМПЬЮТЕР».