Решение задач, в условии которых события не равновероятны

Вопрос к задачам: Почему события в задаче не равновероятные? Сравните вероятности со­бытий между собой

№1

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

Дано: N₄ = 8; N₆ = 24.

Найти: i_ч =?

Решение:

1) N = 8 + 24 = 32 - шара всего;

2) р_ч = 8/32 = ¼ — вероятность доставания черного шара;
3)i_ч = log₂ ( 1/1/4) = 2 бита. Ответ: 2 бита.

№2

В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали оелый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей ныло в корзине?

Дано: N = 64; i ₆ = 4.

Найти: К_б = ?

Решение:1!) i₆ = log₂(l/p₆); 4 = log₂(l/p₆); 1/р₆=16; р_б= 1/16-вероятность доставания белого карандаша;

2) р₆ = K₆/N; 1/16 = К/64; К_б = 64/16 = 4 белых карандаша. Ответ: 4 белых карандаша.

 

№3

В классе 30 человек. За контрольную работу по математике получено 15 пятерок, 6 четверок, 8 троек и 1 двойка. Какое количество информации в сообщении о том, что Андреев получил пятерку?

Дано: N =30; К₅ = 6; К₄ = 15; К₃ = 8; К₂, = 1.

Найти: i ₄ - ?

Решение:

1) Р₄ = 15/30 = 1/2 — вероятность получения оценки «5»;

2)i ₄ = log₂(l/|p₄) = log₂(l/l/2)=1 бит. Ответ: 1 бит.

№4

Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из них 10 - синих, 5 - зеленых, 4 — желтых и 1 — красный.

Какое количество информации несут сообщения о том, что из ящика случайным образом достали черный шар, белый шар, желтый шар, красный шар?

№5

За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение о том, что он получил пя­терку, несет 2 бита информации. Сколько пятерок ученик получил за четверть?

№6

В ящике лежат перчатки (белые и черные). Среди них - 2 пары черных. Сообщение о том, что из ящика достали пару черных перчаток, несет 4 бита информации. Сколько пар белых перчаток было в ящике?

Дано: К_ч = 2, i _ч = 4 бита.

Найти: К_б - ?

Решение:

1) i_ч, = log₂ (l/p_ч), 4 = log₂ (l/p_ч), 1/р_ч = 16, р_ч = 1/16 - вероятность доста­вания черных перчаток;

2) р_ч = Kч/N, N = Кч/р_ч, N = 2*16 = 32 - всего перчаток в ящике;

3) К₆ = N - К_ч = 32 - 2 = 30 пар белых перчаток.
Ответ: 30 пар белых перчаток.

№7

Для ремонта школы использовали белую, синюю и коричневую краски. Израсходовали одинаковое количество банок белой и синей краски. Со­общение о том, что закончилась банка белой краски, несет 2 бита инфор­мации. Синей краски израсходовали 8 банок. Сколько банок коричневой краски израсходовали на ремонт школы?

Дано: К_б = Кс =8,i ₆ = 2 бита.

Найти: Кк - ?

Решение:

1) i ₆ = log₂(l/P₆), 2 = Iog₂(l/p₆), 1/р₆ = 4, р₆ = '/₄ - вероятность расхода белой банки;

2) N = К_б/р_б = 8/(1/4) = 32 - банки с краской было всего;

3) К_к.= N - К₆ - Кс = 32 - 8 - 8 = 16 банок коричневой краски.
Ответ: 16 банок коричневой краски.

№8

В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Со­общение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информа­ции. Сколько всего в корзине шаров?

Дано: Кч = 16,i _б = 2 бита.

Найти: N — ?

Решение:

1) 1/р_б = 2', 1/р₆ = 2² = 4, р_б = 1/4 - вероятность доставания белого шара;

2) …_Рб = K_б/N = Кб/(К_б+Кч), 1/4 = Кб/(К₆+18), К_б + 18 = 4 • К_б, 18 = 3 • К_б,
К_б = 6 - белых шаров;

3) …N = К_ч+К_б = 18 + 6 = 24 шара было в корзине.
Ответ: … 24 шара лежало в корзине.

№9

На остановке останавливаются троллейбусы с разными номерами. Сообщение о том, что к остановке подошел троллейбус с номером N1 несет 4 бита информации. Вероятность появления на остановке троллейбуса с номером N2 в два раза меньше, чем вероятность появления троллейбуса с номером N1. Сколько информации несет сообщение о появлении на оста­новке троллейбуса с номером N2?

Дано: I_N1 = 4 бита, p_{N 1} = 2 *p_N2.

Найти: I_{N 2} - ?

Решение'.

1) 1/P_{N 1} = 2^{I N 1} = 2 ⁴= 16, p_{N 1} = 1/16- вероятность появления троллейбуса N1;

2) p_N1 = 2*p_{N 2}, p_{N 2} = P_{N 1}/2 = 1/32 - вероятность появления троллейбуса N2;

3) I_N2 = log₂(l/p_N2) = Iog₂32 = 5 бит - несет сообщение о появлении трол-|
лейбуса N2.

Ответ: 5 бит несет сообщение о появлении на остановке троллейбуса №2.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В розыгрыше лотереи участвуют 64 шара. Выпал первый шар. Сколько информации содержит зрительное сообщение об этом?

2. В игре « лото» используется 50 чисел. Какое количество информации несет выпавшее число?

3. Какое количество информации несет сообщение о том, что встреча назначена на 3 июля в 18.00 часов?

4. Вы угадываете знак зодиака вашего друга. Сколько вопросов вам нужно при этом задать? Какое количество информации вы получите?

5. В ящике лежат фигурки разной формы - треугольные и круглые. Треугольных фигурок в ящике 15. Сообщение о том, что из ящика достали фигуру круглой формы, несет 2 бита информации. Сколько всего фигурок было в ящике?

6. В ведерке у рыбака караси и щуки. Щук в ведерке 3. Зрительное сообщение о том, что из ведра достали карася, несет 1 бит информации. Сколько всего рыб поймал рыбак?

7. Частотный словарь русского языка - словарь вероятностей (частот) появления букв в произвольном тексте — приведен ниже. Определите, какое количество информации несет каждая буква этого словаря.

 

Символ	Частота	Символ	Частота	Символ	Частота	Символ	Частота
о	0.090	в	0.035	я	0.018	ж	0.007
е, ё	0.072	к	0.028	Ы, 3	0.016	ю, ш	0.006
а, и	0.062	м	0.026	ь, ъ, б	0.014	ц, щ, э	0.003
т, н	0.053	д	0.025	ч	0.013	Ф	0.002
с	0.045	п	0.023	и	0.012
Р	0.040	У	0.021	X	0.009

Используя результат решения предыдущей задачи, определите коли­чество информации в слове «КОМПЬЮТЕР».