Д) Смешанная модель авторегрессии – скользящего среднего порядка (p,q) – АРСС(p,q)

Модель авторегрессии – скользящего среднего порядка (p,q)имеет вид

 

(4.8.13)

С помощью оператора сдвига назад эта модель может быть записана в компактном виде

(4.8.14)

где

При соблюдении некоторых условий стационарный процесс АРСС(p,q) может быть представлен как бесконечный процесс авторегрессии или бесконечный процесс скользящего среднего

 

или

(4.8.15)

 

где

 

Бесконечный полином определяется выражением

 

(4.8.16)

В частности, стационарный процесс АР может быть представлен как бесконечный процесс скользящего среднего, а большинство процессов скользящего среднего (при условии обратимости) – как бесконечный процесс авторегрессии . При анализе реальных временных рядов следует выбирать представление процесса с наименьшим возможным числом параметров.

Пример1. Рассмотрим процесс скользящего среднего

Из следует, что и

Из следует, что и
и т. д, т.е.

 

 

Этот процесс сходится при условии

Пример 2. Рассмотрим стационарный процесс авторегрессии первого порядка

Выразим предшествующий уровень по этой же формуле

. Тогда

Аналогично и +…

Поскольку , этот ряд сходится.