Г) Модель авторегрессии p-го порядка

Модель авторегрессии порядка p – АР(p) имеет вид

 

(4.8.8)

Для компактного описания этого процесса введем понятие оператора сдвига назад B: ; ; …. .

Тогда математическая модель может быть записана в следующем виде

 

(4.8.9)

где . (4.8.10)

Процесс авторегрессии не всегда стационарен. Вопрос о стационарности процесса авторегрессии можно выяснить с помощью так называемого характеристического уравнения

(4.8.11)

Если все комплексные корни характеристического уравнения лежат вне единичного круга, то есть , то процесс авторегрессии является стационарным. Отметим, что данное требование является обязательным.

Пример. Процесс авторегрессии первого порядка имеет характеристическое уравнение с корнем Так как , то процесс стационарен. Его значения колеблются вокруг нуля.

Процесс авторегрессии первого порядка имеет характеристическое уравнение с корнем Так как , то процесс не стационарен. Коэффициент 1,1 приводит к постоянному увеличению последующих значений процесса.

Для процесса авторегрессии диагностической функцией ее порядка является так называемая частная автокорреляционная функция (ЧАК).

Предположим, что описывается процессом авторегрессии порядка τ

(4.8.12)

При этом последний коэффициент называется коэффициентом частной автокорреляции для величины лага τ.

Ряд ЧАК(τ) называется частной актокорреляционной функцией. Для процесса АР(p) ЧАК(τ)=0 для значений .