Системы эконометрических уравнений.

Объектом статистического изучения в экономике являются сложные системы. При использовании отдельных уравнений регрессии изменение факторов влечет за собой, как правило, изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Именно поэтому в последние десятилетия в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой одновременных уравнений, называемыхтакже структурными уравнениями. В них одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы

y₁=b₁₂y₂ + b₁₃y₃ +…+ b_1ny_n+ a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1mx_m+ε₁,

y₂=b₂₁y₁ + b₂₃y₃ +…+ b_2ny_n+ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2mx_m+ε₂,

…………………………………………………………………..

y_n=b_n1y₁ + b_n2y₂ +…+ b_nn-1y_n-1+ a_n1x₁+ a_n2x₂+…+ a_nmx_m+ε_n.

Зависимые переменные (у), число которых равно числу уравнений в системе, называются эндогенными переменными, предопределенные переменные (х), влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными переменными.

Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно получать целевые значения эндогенных переменных.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида

y₁=b₁₂y₂ + a₁₁x₁+ ε₁,

y₂=b₂₁y₁ + a₂₂x₂+ a₂₃x₃+ε₂,

где y₁– темп изменения месячной заработной платы;

y₂ – темп изменения цен;

х₁ – процент безработных;

х₂ – темп изменения постоянного капитала;

х₃ – темп изменения цен на импорт сырья.

В отличие от предыдущих разделов каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются следующие специальные приемы оценивания:

– косвенный метод наименьших квадратов;

– двухшаговый метод наименьших квадратов;

– трехшаговый метод наименьших квадратов;

– метод максимального правдоподобия с полной информацией;

– метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Данные методы подробно описаны в литературе [6], первые два являются традиционными, достаточно легко реализуемыми.

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации, разработанный в 1949 г. Т.Андерсоном и Н.Рубиным. В этом методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Несмотря на его значительную популярность, к середине 60-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК) в связи с гораздо большей простотой последнего.

Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый метод наименьших квадратов, предложенный в 1962 г. А.Зельнером и Г.Тейлом. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается все же ДМНК. Метод получил название двухшагового метода наименьших квадратов, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении формы модели зависимости эндогенных переменных только от экзогенных (так называемая приведенная модель) и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенных переменных, и, затем, на втором шаге, используя эти теоретические значения эндогенных переменных, применительно к исходным уравнениям модели. См. также [4].