Двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов

Если система одновременных уравнений сверхидентифицируема, то КМНК не используется, так как он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуется в четыре этапа.

1. На основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется ее приведенная форма.

2. Неизвестные коэффициенты каждого уравнения приведенной формы системы одновременных уравнений оцениваются традиционным методом наименьших квадратов.

3. Рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных переменных в сверхидентифицированном уравнении.

4. С помощью традиционного метода наименьших квадратов определяются все структурные коэффициенты уравнений системы через предопределенные переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Метод получил название двухшагового МНК потому, что МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и на четвертом шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным расчетных значений эндогенных переменных.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Трехшаговый метод наименьших квадратов применяется тогда, когда нарушено условие гомоскедастичности или когда случайные составляющие коррелированы. Алгоритм трехшагового метода наименьших квадратов (ТМНК) в качестве первых двух шагов включает этапы двухшагового метода,

т. е. для оценки коэффициентов каждого уравнения структурной формы по-прежнему применяется двухшаговый МНК. Оценки, полученные после ДМНК для каждого отдельного структурного уравнения, не являются окончательными, а используются на третьем шаге для оценки структурных коэффициентов всей системы одновременно.

Таким образом, процедура оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей состоит из трех последовательных этапов, определяющих содержание ТМНК.

Шаг 1. На данном этапе с использованием обычного МНК на основании приведенной формы определяются расчетные значения переменных , рассматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы.

Шаг 2. Как и в ДМНК, на этом этапе с использованием значений определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы.

Шаг 3. С помощью обобщенного МНК определяются ”окончательные” оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при наличии корреляции между ошибками различных уравнений являются “более эффективными” по сравнению с аналогичными оценками ДМНК.

Если ошибки системы не коррелируют между собой, то ТМНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При применении ТМНК необходимо соблюдать некоторые дополнительные правила, что делает его процедуру менее универсальной по сравнению с двухшаговой. Они состоят в следующем.

1. Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых уравнений системы. Тождества и неидентифицируемые уравнения в ней не участвуют.

2. Процедуру желательно выполнять для групп идентифицируемых и неидентифицируемых уравнений раздельно. При этом если в соответствующую группу входит только одно сверхидентифицируемое уравнение, то трехшаговая процедура для него превращается в двухшаговую.

Практическое применение трехшагового метода ограничено из-за большого количества расчетов и чрезвычайной чувствительности результатов к ошибкам спецификации.

Вопросы для самопроверки

1. Для каких систем одновременных уравнений применяют двухшаговый метод наименьших квадратов?

2. Назовите основные этапы ДМНК.