Решение

В нашем случае зависимость товарооборота за месяц характеризуется следующим уравнением:

.

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид:

.

Для того чтобы получить систему нормальных уравнений, составим таблицу 1.


Таблица 1 – Исходные и расчетные данные для примера построения множественной регрессии

n x1 x2 y x12 x22 y2 yx1 yx2 x1x2
61,26 74,04 786,40 3752,28 5482,53 618420,33 48171,45 58228,08 4535,64
65,77 68,82 837,13 4325,38 4736,68 700790,58 55056,23 57614,40 4526,36
66,72 67,43 875,74 4451,83 4546,33 766912,31 58430,86 59047,74 4498,83
78,09 62,35 912,13 6097,77 3887,89 831985,43 71226,81 56874,13 4869,03
78,70 67,50 993,75 6193,00 4556,25 987539,06 78203,74 67078,13 5311,95
78,78 70,96 1021,32 6206,66 5034,74 1043101,75 80462,27 72468,91 5590,07
81,82 81,99 1033,46 6694,37 6721,59 1068031,06 84556,45 84728,18 6707,96
82,43 55,66 1084,19 6794,12 3098,23 1175470,51 89366,05 60347,99 4588,00
83,12 76,99 1147,06 6909,03 5926,74 1315743,94 95344,20 88306,66 6399,06
83,55 75,96 1170,22 6981,34 5769,30 1369416,23 97777,09 88885,14 6346,45
84,86 80,66 1172,43 7200,52 6506,32 1374583,83 99487,28 94569,99 6844,63
86,16 82,94 1174,63 7423,09 6879,24 1379761,16 101203,21 97425,39 7145,99
87,11 83,01 1175,74 7588,46 6891,44 1382353,48 102420,38 97603,32 7231,56
88,67 73,68 1192,28 7862,99 5428,22 1421530,20 105723,62 87842,94 6533,15
90,50 77,21 1241,91 8189,45 5960,75 1542344,83 112387,54 95882,89 6986,79
90,76 73,82 1249,63 8236,63 5449,91 1561581,02 113411,49 92252,27 6699,92
91,54 85,07 1319,12 8378,98 7237,51 1740071,37 120747,76 112221,99 7787,36
98,48 85,37 1336,76 9697,90 7287,64 1786939,88 131641,84 114116,46 8406,83
107,24 80,88 1429,41 11500,67 6541,96 2043217,99 153291,80 115614,19 8673,92
122,60 84,78 1448,16 15030,40 7187,55 2097172,50 177542,50 122774,30 10393,83
Итого 1708,14 1509,12 22601,47 149514,89 115130,80 26206967,45 1976452,57 1723883,11 130077,34

Итак, система нормальных уравнений имеет вид

Решим эту систему по методу Крамера. Вычисляем определитель системы:

= 63116109,08.

Аналогично вычисляем частные определители, заменяя соответствующий столбец столбцом свободных членов:

= -8788430890,31;

= 722640789,19;

= 243795572,83.

Коэффициенты уравнения определяются по формулам:

-8788430890,31/63116109,08 = -139,24;

722640789,19/63116109,08 = 11,45;

243795572,83/63116109,08 = 3,86.

Таким образом, уравнение имеет вид: -139,24 + 11,45 х1 + 3,86 х2.

Экономическая интерпретация параметров уравнения: с увеличением площади торгового зала на 1 кв.м и неизменных затратах на персонал товарооборот в среднем увеличивается на 11,45 тыс. руб. При неизменной площади торгового зала и увеличении затрат на персонал на 1 тыс.руб. товарооборот в среднем увеличивается на 3,86 тыс.руб.

Определим парные коэффициенты корреляции и .

При этом воспользуемся следующими формулами:

, , , , , . В нашем случае  

85,41;

75,46;

1130,07;

98822,63;

86194,16;

6503,87.

Для расчета , и составим вспомогательную таблицу 2.

 

Таблица 2 – Вспомогательная таблица для расчета , и

n x1 x2 y (x1k - )2 (x2k - )2 (yk - )2
61,26 74,04 786,40 583,27 1,99 118113,52
65,77 68,82 837,13 385,70 43,99 85814,53
66,72 67,43 875,74 349,12 64,47 64687,94
78,09 62,35 912,13 53,56 171,69 47498,36
78,70 67,50 993,75 45,04 63,30 18584,10
78,78 70,96 1021,32 43,88 20,25 11826,56
81,82 81,99 1033,46 12,87 42,63 9334,97
82,43 55,66 1084,19 8,88 391,81 2105,19
83,12 76,99 1147,06 5,23 2,34 288,50
83,55 75,96 1170,22 3,43 0,25 1611,79
84,86 80,66 1172,43 0,30 27,10 1793,77
86,16 82,94 1174,63 0,56 56,03 1985,49
87,11 83,01 1175,74 2,91 57,14 2085,00
88,67 73,68 1192,28 10,67 3,17 3869,57
90,50 77,21 1241,91 25,90 3,06 12507,79
90,76 73,82 1249,63 28,61 2,66 14294,31
91,54 85,07 1319,12 37,58 92,50 35737,68
98,48 85,37 1336,76 170,85 98,24 42721,24
107,24 80,88 1429,41 476,74 29,45 89603,38
122,60 84,78 1448,16 1383,22 86,93 101180,13
Итого 1708,14 1509,12 22601,47 3628,33 1258,99 665643,81
Среднее 85,41 75,46 1130,07 181,42 62,95 33282,19

= = 13,47;

= = 7,93;

= = 182,43.

Теперь определим парные коэффициенты корреляции.

= = 0,9387;

= 0,6380;

= 0,5556.

  

Подставив в уравнение регрессии значения х1 и х2, получим теоретические значения y, т.е. , а также = y - и (табл. 3).

 

Таблица 3 – Расчет индекса множественной корреляции

n x1 x2 y (y - )2
61,26 74,04 786,40 848,11 -61,71 3808,08 118113,52
65,77 68,82 837,13 879,60 -42,47 1803,36 85814,53
66,72 67,43 875,74 885,13 -9,39 88,25 64687,94
78,09 62,35 912,13 995,67 -83,54 6978,19 47498,36
78,70 67,50 993,75 1022,50 -28,75 826,74 18584,10
78,78 70,96 1021,32 1036,85 -15,52 240,93 11826,56
81,82 81,99 1033,46 1114,22 -80,76 6522,39 9334,97
82,43 55,66 1084,19 1019,49 64,70 4185,94 2105,19
83,12 76,99 1147,06 1109,80 37,25 1387,85 288,50
83,55 75,96 1170,22 1110,80 59,42 3531,32 1611,79
84,86 80,66 1172,43 1143,87 28,55 815,25 1793,77
86,16 82,94 1174,63 1167,58 7,05 49,74 1985,49
87,11 83,01 1175,74 1178,79 -3,06 9,34 2085,00
88,67 73,68 1192,28 1160,60 31,68 1003,47 3869,57
90,50 77,21 1241,91 1195,10 46,82 2191,69 12507,79
90,76 73,82 1249,63 1185,01 64,62 4175,84 14294,31
91,54 85,07 1319,12 1237,41 81,71 6676,62 35737,68
98,48 85,37 1336,76 1318,02 18,75 351,54 42721,24
107,24 80,88 1429,41 1401,02 28,39 805,87 89603,38
122,60 84,78 1448,16 1591,91 -143,75 20663,31 101180,13
Итого 1708,14 1509,12 22601,47 22601,47 0,00 66115,71 665643,81

 

Для вычисления индекса множественной корреляции воспользуемся следующей формулой

 

В нашем случае индекс множественной корреляции составит

= 0,9490;

Тогда = 0,94902 = 0,9007.

 

Вывод о тесноте связи результата с факторами и объясняемости вариации результата: согласно шкале Чеддока теснота связи между товарооборотом, затратами на персонал и площадью торгового зала весьма высокая, т.е. затраты на персонал и площадь торгового зала – одни из главных факторов, от которых зависит размер товарооборота.

Значение коэффициента детерминации свидетельствует о том, что товарооборот на 90% зависит от факторов, включенных в модель (затрат на персонал и площади торгового зала), и на 10% - от прочих факторов, не включенных в модель.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью с помощью F-критерия Фишера:

, )

где R - индекс множественной корреляции (тоже, что и );

n - число наблюдений;

m - число параметров при переменных х (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов).

В нашем случае = 77,07.

По таблице определяем , которое составляет 3,59.

Вывод: поскольку табличное значение критерия Фишера меньше расчетного, уравнение регрессии статистически значимо.

  
Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе строится на основе матрицы парных коэффициентов корреляции:
,  

где - стандартизованные переменные: , для которых среднее значение равно нулю, а среднее квадратическое значение равно единице;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида для определения стандартизованных коэффициентов регрессии.

 

 

  

В нашем случае система нормальных уравнений имеет вид:

Окончательно получаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе в виде:

.

Из уравнения регрессии в стандартизованном масштабе можно сделать вывод, что площадь торгового зала является более значимым фактором, чем затраты на персонал, поскольку .

Рассчитаем индексы множественной корреляции и детерминации для линейного уравнения регрессии в стандартизованном масштабе.

= 0,9490.

Сравниваем индекс множественной корреляции с парными индексами корреляции:

.

Следовательно, включение обоих факторов в уравнение множественной регрессии является обоснованным.

0,9007.

Матри­ца парных коэффициентов корреляции в нашем случае имеет вид:

y х1 х2
y 0,9387 0,6380
х1 0,9387 0,5556
х2 0,6380 0,5556

 

Определитель матрицы парных коэффициентов регрессии составляет

Det |R| = = 0,6908.

Вывод: значение определителя близко к единице, что свидетельствует о слабой взаимной коррелированности объясняющих переменных.

Наиболее значимый фактор – это площадь торгового зала, т.к. ryx1 > ryx2.

Предположим, что зависимость товарооборота за месяц характеризуется уравнением .

Параметры a и b найдем из следующей системы уравнений

 

где n – число наблюдений.

Расчет производных данных для корреляционного анализа произведем в таблице 4.

 

Таблица 4 – Расчет производных данных для корреляционного анализа

n x y xy x2 y2
61,26 786,40 48171,45 3752,28 618420,33
65,77 837,13 55056,23 4325,38 700790,58
66,72 875,74 58430,86 4451,83 766912,31
78,09 912,13 71226,81 6097,77 831985,43
78,70 993,75 78203,74 6193,00 987539,06
78,78 1021,32 80462,27 6206,66 1043101,75
81,82 1033,46 84556,45 6694,37 1068031,06
82,43 1084,19 89366,05 6794,12 1175470,51
83,12 1147,06 95344,20 6909,03 1315743,94
83,55 1170,22 97777,09 6981,34 1369416,23
84,86 1172,43 99487,28 7200,52 1374583,83
86,16 1174,63 101203,21 7423,09 1379761,16
87,11 1175,74 102420,38 7588,46 1382353,48
88,67 1192,28 105723,62 7862,99 1421530,20
90,50 1241,91 112387,54 8189,45 1542344,83
90,76 1249,63 113411,49 8236,63 1561581,02
91,54 1319,12 120747,76 8378,98 1740071,37
98,48 1336,76 131641,84 9697,90 1786939,88
107,24 1429,41 153291,80 11500,67 2043217,99
122,60 1448,16 177542,50 15030,40 2097172,50
Итого 1708,14 22601,47 1976452,57 149514,89 26206967,45

 

Подставим полученные значения в систему уравнений и получим:

Из системы находим, что a = 44,17, b = 12,71.

Уравнение регрессии имеет вид 44,17 + 12,71х.

Экономическая интерпретация коэффициента регрессии: с увеличением площади торгового зала на 1 кв.м товарооборот увеличится в среднем на 12,71 тыс.руб.

Найдем коэффициент корреляции

rxy = =

= = 0,9387.

Вывод по коэффициенту корреляции: согласно шкале Чеддока теснота связи между товарооборотом и площадью торгового зала весьма высокая.

Возведем коэффициент корреляции в квадрат, получим коэффициент детерминации, равный 0,8812, откуда можно сделать вывод о том, что товарооборот на 88,12% зависит от площади торгового зала и на 11,88% - от прочих факторов, не включенных в модель.

Для оценки значимости уравнения регрессии составим вспомогательную таблицу 5.

 

Таблица 5 – Вспомогательная таблица для оценки значимости уравнения регрессии

n x y (y - )2 ( - )2 (y - )2 ( - )2
61,26 786,40 823,01 118113,52 94290,47 1340,21 583,27
65,77 837,13 880,37 85814,53 62351,42 1869,57 385,70
66,72 875,74 892,51 64687,94 56438,45 281,25 349,12
78,09 912,13 1037,02 47498,36 8658,76 15597,20 53,56
78,70 993,75 1044,74 18584,10 7281,25 2600,32 45,04
78,78 1021,32 1045,85 11826,56 7094,20 601,37 43,88
81,82 1033,46 1084,46 9334,97 2080,83 2601,16 12,87
82,43 1084,19 1092,18 2105,19 1435,95 63,82 8,88
83,12 1147,06 1101,00 288,50 844,98 2120,96 5,23
83,55 1170,22 1106,52 1611,79 554,73 4057,66 3,43
84,86 1172,43 1123,07 1793,77 49,07 2436,22 0,30
86,16 1174,63 1139,62 1985,49 91,06 1226,15 0,56
87,11 1175,74 1151,75 2085,00 469,91 575,25 2,91
88,67 1192,28 1171,61 3869,57 1725,10 427,31 10,67
90,50 1241,91 1194,77 12507,79 4186,21 2221,92 25,90
90,76 1249,63 1198,08 14294,31 4625,42 2657,23 28,61
91,54 1319,12 1208,01 35737,68 6074,49 12344,35 37,58
98,48 1336,76 1296,27 42721,24 27620,00 1640,13 170,85
107,24 1429,41 1407,69 89603,38 77068,91 471,99 476,74
122,60 1448,16 1602,95 101180,13 223609,89 23958,66 1383,22
Итого 1708,14 22601,47 22601,47 665643,81 586551,10 79092,72 3628,33

 

Рассчитаем дисперсии на одну степень свободы.

= 665643,81/19 = 35033,88;  
= 586551,10;  
= 79092,72/18 = 4394,04.  

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения, т.е. критерий F:

= 586551,10/4394,04 = 133,49.  

Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существовании этой связи:

Fфакт. > Fтабл., Н0 отклоняется.  

Если же величина F окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена без риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически значимым:

Fфакт. < Fтабл., Н0 не отклоняется.  

Вывод о значимости уравнения регрессии: поскольку Fфакт. > Fтабл., уравнение регрессии является статистически значимо.

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии параметра mb

mb = = 1,10.  

Отношение коэффициента регрессии к его стандартной ошибке дает t-статистику, которая подчиняется статистике Стьюдента при (n-2) степенях свободы. Эта статистика применяется при проверке статистической значимости коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов.

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величину сравнивают с его стандартной ошибкой, т.е. определяют фактическое значение t-критерия Стьюдента:

tb= ,  

которое затем сравнивают с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n-2).

В нашем случае фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии составило:

tb= = 11,55. При =0,05 (для двустороннего критерия) и числе степеней свободы 18 табличное значение t = 2,1009. Вывод о существенности коэффициента регрессии: поскольку 11,55>2,1009, коэффициент регрессии статистически значим. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как b . Для коэффициента регрессии b в нашем случае 95%-ные границы составят: 12,71-2,1009*1,10 = 10,40; 12,71+2,1009*1,10 = 15,03. Доверительный интервал: [10,40;15,03]. Найдем стандартную ошибку параметра a
ma = = 95,15.  

 

  

Процедура оценивания значимости данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии: вычисляется t-критерий:

ta= ,  

его величина сравнивается с табличным значением при df = n-2 степенях свободы.

Фактическое значение t-критерия для данного параметра составило:

ta= 44,17/95,15 = 0,46.

Вывод о существенности параметра a: поскольку 2,1009>0,46, параметр регрессии статистически не значим.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как a . Для коэффициента регрессии a в нашем случае 95%-ные границы составят:

44,17-2,1009*95,15 = -155,73;

44,17+2,1009*95,15 = 244,07.

Доверительный интервал: [-155,73; 244,07].

Для оценки значимости коэффициента корреляции введем вспомогательную величину z, связанную с коэффициентом корреляции следующим отношением:

z = 0,5ln = 0,5ln = 1,73.  

Стандартная ошибка величины z составит

mz = = = 0,24.  

где n – число наблюдений.

Далее выдвигаем нулевую гипотезу о том, что корреляция отсутствует, т.е. теоретическое значение коэффициента корреляции равно нулю. Коэффициент корреляции значимо отличен от нуля, если z / mz = tz > , т.е. фактическое значение tz превышает его табличное значение на уровне значимости = 0,05.

В нашем случае

tz = 1,73/0,24 = 7,2 при = 2,1009.

Вывод о значимости коэффициента корреляции: поскольку 2,1009 < 7,2, коэффициент регрессии статистически значим.