Характеристика остатков

Характеристика	Значение
Среднее значение Дисперсия Средний модуль остатков Относительная ошибка Критерий Дарбина – Уотсона Коэффициент детерминации значение Уравнение знчимо с вероятностью	0,000 3151,663 44,485 1,310 1,901 1,000 54932,906   0,950

Таблица 5.9. Таблица прогнозов (Р=80%)

Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
	3406,740 3368,701 3499,812	3329,916 3288,109 3411,373	3483,565 3449,293 3588,251

 

Прогнозирование курса немецкой марки по авторегрес­сионной модели:

 

 

№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№

№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№№

Рис. 5.2. Результаты аппроксимации и прогнозирования по авторегрессионной модели (1,1)

 

Вопросы и задания

1. В чем суть прогнозирования экономических процессов на основе метода экстраполяции?

2. Дайте характеристику основных типов кривых роста, наиболее часто используемых при построении трендовых моделей прогнозирования.

3. Укажите методы предварительного выбора кривой рос­та. Как находятся параметры этих кривых?

4. Каким образом проводится оценка адекватности трендовых моделей? Какие статистические критерии при этом используются?

5. Назовите статистические критерии оценки точности моделей прогнозирования в экономике.

6. Перечислите основные этапы прогнозирования экономи­ческой динамики на основе одномерных временных ря­дов с использованием трендовых моделей.

7. Опишите порядок получения точечного и интервального прогноза экономического показателя на основе трендовых моделей. От каких факторов зависит ширина довери­тельного интервала прогноза?

8. Поясните суть адаптивных методов прогнозирования. Какие типы адаптивных моделей вы знаете?

9. Укажите этапы построения и использования адаптивной модели Брауна. Как влияет параметр сглаживания на скорость адаптации моделей этого типа к изменениям
в прогнозируемом процессе?

10.Дайте краткую характеристику авторегрессионных моделей прогнозирования. Для каких экономических процессов применимы методы авторегрессии?

 

Тема 8. СИСТЕМЫ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

8.1. ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ВЗАИМОЗАВИСИМЬЕХ МОДЕЛЕЙ

При формировании и построении эконометрических моделей в преды­дущих разделах предполагалось, что между независимыми переменными и зависимой переменной в каждый момент времени сущест­вует только односторонняя прямая связь: В такой си­туации зависимая переменная не оказывала никакого влияния на пере­менные, входившие в правую часть модели.

Это не означает, что переменные , , характеризовались как абсолютно независимые. Однако предопределяющие их значения причи­ны, факторы не находились под воздействием явления, отражаемого пе­ременной .

Таким образом, в тенденциях развития переменных х_и и у, просматри­валась как бы строгая очередность. Сначала в момент (период) t возника­ли явления, выражаемые независимыми в модели переменными х„, а за­тем под их влиянием формировалось явление, которое выражалось пере­менной .

В реальной жизни многие экономические и социальные явления разви­ваются, воздействуя друг на друга одновременно, так что в единичный период времени, обозначаемый индексом t, невозможно установить, ка­кое из этих явлений первично, а какое вторично. В качестве типичного примера такой взаимосвязи обычно называют соотношение между спро­сом и предложением, характеризующееся в единичном интервале време­ни взаимным влиянием друг на друга цены и объема производства (по­требления) товара при участии некоторого количества других факторов, которые можно считать независимыми. Простейший (и достаточно ус­ловный) вариант эконометрической модели, описывающей динамику этих переменных на равновесном рынке, можно представить в виде следующей системы, состоящей из двух уравнений:

(8.1)

 

где средняя цена за единицу товара, зафиксированная на рынке в период t; объем производства (предложения) в период t; средний уровень дохода потребителя в период t; и коэффициен­ты первого и второго уравнений соответственно; и ошибки перво­го и второго уравнений соответственно.

Первое уравнение системы (8.1) показывает, что объем производства товара в период t зависит от сложившейся на него на рынке цены. Во втором уравнении уже уровень цены на товар ставится в зависимость от объема его предложения и дохода потребителей, величина которого в этой системе предполагается известной. Таким образом, переменная , в системе (8.1) является единственной чисто независимой переменной, а переменные и являются взаимозависимыми, т.е. в одном уравне­нии одна переменная рассматривается как зависимая, а другая - высту­пает в качестве независимой. Во втором уравнении они меняются мес­тами.

Вообще говоря, «одновременность влияния» различных переменных друг на друга в большинстве случаев можно рассматривать как одно из допущений модели, целесообразность введения, которого вызывается, на­пример, укрупнением временного интервала t. В реальности вряд ли можно обнаружить рынок, на котором равновесные цены и объемы това­ров формировались бы одновременно. Обычно эти показатели изменяют­ся в ходе работы рынка на основе попеременной корректировки одного из них с учетом известного значения другого. Производитель, реагируя на рыночные цены, выпускает определенное количество товара (продавец закупает товар у оптовика). С учетом нового объема предложения и по­купательской способности населения на рынке формируется новая цена (корректируется цена на товар). Такая очередность во взаимовлиянии предложения товара и его цены относительно непродолжительный пери­од времени соответствует несколько другой модификации системы эко­нометрических уравнений, имеющей следующий вид:

(8.2)

 

в которой взаимосвязи между взаимозависимыми переменными выража­ются следующей последовательностью:

В системе (8.2) одновременные взаимосвязи между переменными и отсутствуют. Однако если периоды будут укрупнены (например, дневные в недельные, месячные в квартальные и т.п.), то в рамках укруп­ненного периода уже возникают одновременные взаимосвязи между пе­ременными и . Использование в данной ситуации в качестве объяс­няющей переменной значения становится нецелесообразным, по­скольку реакции покупателя и продавца проявляются уже в рамках одно­го и того же периода. В этом случае взаимосвязи между переменными и уже определяются системой (8.1). При этом, например, может рассматриваться как средняя цена за этот укрупненный период, а как объем продаж (предложения). Разумеется, что при определении длины укрупненного периода большое значение имеет вид товара. Для товаров повседневного спроса уже неделю можно рассматривать в качестве тако­го периода, а для некоторых средств производства и годовой продолжи­тельности может быть недостаточно.

return false">ссылка скрыта

В отношении ошибок системы (8.1) и выдвинем традиционные предположения об отсутствии в ряду каждой из них явлений гетероскедастичности и автокорреляции:

В целях упрощения предварительных рассуждений предположим так­же, что временные ряды ошибок и статистически независимы, т.е. .

Посмотрим, сохраняется ли для системы (8.1) условие (2.23), выпол­нение которого позволяет получить несмещенные оценки коэффициентов модели с использованием МНК.

Подставим во второе уравнение системы (8.1) значение , выражен­ное через . Получим

 

откуда следует, что

 

 

где коэффициенты новой модели и новая случайная ошибка, являющаяся линейной комбинацией независимых ошибок и . В силу условия (8.3) несложно убедиться, что

 

Из выражения (8.4) следует, что в общем случае на зависимую пере­менную воздействует случайная ошибка , в которую входит ошибка первого уравнения . Таким образом, переменные и нельзя считать независимыми и

(8.5)

Иными словами, входящие в первое уравнение независимая перемен­ная и ошибка оказываются коррелированными, а следовательно, и прямое использование МНК для получения оценок коэффициентов этого уравне­ния даст смещенные результаты. При этом из выражения (8.5) следует, что это смещение не может быть устранено увеличением объема выборки, поскольку при всех значениях Т. Напомним, что величину смещения оценок а₀ и щ, согласно выражению (2.9), можно оценить как

 

Оценки со смещением, не устраняемым увеличением объема выборки, называют несостоятельными. Если такие оценки получены с использо­ванием МНК, то часто употребляется термин «несостоятельный МНК».

Аналогично можно показать, что во втором уравнении системы (8.1) переменная связана с ошибкой и применением обычного МНК и в этом случае ведет к смещенным оценкам параметров .

Заметим далее, что, вообще говоря, уравнения системы (8.1) могли бы быть рассмотрены и по отдельности. Однако это не будет озна­чать, что взаимосвязи между переменными, входящими в их правые час­ти, и соответствующими ошибками исчезли. Эти взаимосвязи сущест­вуют вне зависимости от того, объединяются ли данные уравнения в систему. Они предопределены характером взаимоотношений в экономи­ке между рассматриваемыми процессами, а не самим объединением их в систему. Просто в системе взаимосвязи между независимыми переменными и ошибкой становятся непосредственно очевидными, поскольку они могут получить количественную оценку.

Таким образом, системы взаимозависимых эконометрических мо­делей выражают через структурную форму взаимосвязей между яв­лениями их новое содержание, характеризующееся взаимным влия­нием друг на друга некоторых зависимых и независимых перемен­ных. В этой связи следует заметить, что можно строить отдельную модель этой системы для отдельно взятой зависимой переменной, но при этом следует иметь в виду, что если она, в свою очередь, в то же время влияет на какую-либо из независимых переменных, то исполь­зование МНК для получения оценок коэффициентов этой модели да­ет смещенные результаты.

Здесь следует отметить, что корреляционные взаимосвязи между эн­догенными переменными и ошибками появляются и в том случае, когда некоторые из уравнений системы (8.1) имеют характер тождества. Рас­смотрим, например, упрощенную модель агрегированного спроса в зави­симости от величины дохода при балансовом ограничении на величину дохода:

 

(8.6)

где потребительские расходы в период t, определяющие величину спроса; размер дохода в период t; чистые инвестиции в период t; ошибка модели, удовлетворяющая свойствам типа (8.3); и ко­эффициенты модели. Заметим, что во втором уравнении системы (8.6) отсутствует ошибка, и коэффициенты при объясняющих переменных строго предопределены балансовым соотношением. Они равны едини­це.

Подставив первое уравнение из (8.6) во второе, получим

 

Таким образом, коэффициент ковариации между переменными и в силу условий (8.3) оказывается отличным от нуля:

 

Вместе с тем следует отметить, что существует класс систем взаимо­зависимых эконометрических моделей, в которых эндогенные перемен­ные и ошибки можно считать статистически независимыми. Это — так называемые «рекурсивные системы». Простейшим их примером можно считать систему (8.2).

В результате подстановки первого уравнения из (8.2) во второе полу­чим

. (8.8)

 

Из выражения (8.8) вытекает, что цена товара в период , опреде­ляемая вторым уравнением, зависит от ошибки первого уравнения. Одна­ко поскольку при определении коэффициентов первого уравнения из (8.2) используется не значение , а значение , которое не связано с ошиб­кой (так как ошибка формируется позже чем значение , поэтому связь между этими переменными отсутствует), то использование МНК не приводит к смещению оценок коэффи­циентов и .

С учетом этого факта коэффициенты каждой из эконометрических моделей, входящих в рекурсивную систему, могут быть оценены с ис­пользованием обычного МНК и полученные их оценки не будут сме­щенными.

Рассмотрим проблемы построения систем взаимозависимых эконо­метрических моделей более подробно, в том числе и с формальных пози­ций.

 

8.2. Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей

 

Собрав по разные стороны знака равенства переменные и и ошибки , ; ; представим общий вариант системы взаимозависимых уравнений в следующем виде:

 

где и коэффициенты го уравнения при переменных и со­ответственно; ;

Взаимозависимые переменные обычно называют эндогенным, подчеркивая тем самым, что их расчетные значения определяются на основании модели (8.9). Переменные называются экзоген-
ными. Их значения задаются только в качестве исходных данных и в
системе (8.9) они не рассчитываются.

Для ошибок системы (8.9) будем считать справедливыми предположе­ния типа (8.3), т.е. . Но при этом ошибки отдельных уравнений могут быть взаимозависимыми, что выражается соотношением

 

(8.10)

которое может быть справедливым для некоторых i и j .

Кроме того, в системе (8.9) предполагается, что экзогенные перемен­ные ; и ошибки уравнений ; независимы.

Исходными данными при построении модели (8.9) являются зафикси­рованные в моменты времени значения эндогенных перемен­ных и экзогенных переменных .

Для произвольного момента t система (8.9) может быть записана в следующей векторно-матричной форме:

 

(8.11)

где вектор-столбец наблюдаемых (исходных) значений эндогенных переменных в момент t; вектор-столбец на­блюдаемых (исходных) значений эндогенных переменных в момент t; вектор-столбец значений ошибок уравнений в момент t; матрицы коэффициентов и модели при переменных и соответственно. Матрица А имеет размерность , а матрица .

. (8.12)

Развернутую и векторно-матричную формы (8.9) и (8.11) системы эконометрических уравнений называют структурной формой модели. В отличие от нее можно сформировать так называемую «приведенную» форму модели, в которой значения переменных выражаются только через экзогенные переменные . Векторно-матричное уравнение приве­денной формы записывается в следующем виде:

, (8.13)

где матрица коэффициентов приведенной формы размера ; вектор-столбец ошибок приведенной формы.

Таким образом, уравнения, входящие в приведенную систему (8.13), по своему виду похожи на традиционные эконометрические модели с од­ной зависимой переменной и независимыми факторами . Развернутая форма приведенной системы (8.13) может быть представлена в следующем виде:

 

(8.14)

Вообще говоря, приведенная форма системы эконометрических урав­нений типа (8.13) может быть сформирована только при условии невы­рожденности матрицы . В самом деле, из условия равенства столбцов в системах (8.11) и (8.13) непосредственно вытекает, что показатели при­веденной формы выражаются через показатели структурной формы сле­дующим образом:

 

. (8.15)

Поскольку экзогенные переменные ; и ошибки ; статистически независимы, то оценки коэффициентов приведен­ной формы, полученные с использованием МНК, являются несмещенны­ми, несмотря на достаточно сложную структуру ошибок . Из выраже­ния (8.15) следует, что ошибки являются линейными комбинациями ошибок . Для них справедливо следующее соотношение:

 

, (8.16)

 

где коэффициенты являются элементами й строки матрицы .

Из выражений (8.14) и (8.16) непосредственно также следует, что любая эндогенная переменная , к =1, 2,..., т; статистически взаимо­связана с ошибками всех моделей системы (8.1), поскольку ошибки яв­ляются линейными комбинациями ошибок .

Точно так же, как и для системы (8.1), можно доказать, что и в общем случае системы (8.9) и ее векторно-матричного аналога (8.11), ее харак­терной чертой является наличие статистических взаимосвязей между эн­догенными переменными входящими в правую часть го уравнения этой системы, и его ошибкой . Для переменной , например, это не­сложно сделать, подставив во второе уравнение системы вместо перемен­ной , определяющее ее первое уравнение системы. В результате полу­чим следующее выражение:

 

(8.17)

свидетельствующее о том, что переменная и ошибка взаимосвяза­ны друг с другом.

В выражении (8.17) представляет собой новую линейную форму, отражающую зависимость переменной от всех дру­гих факторов, входящих в модель, после подстановки первого уравнения системы во второе и приведения подобных членов.

Аналогичным образом, подставляя во второе уравнение системы (8.9) третье, четвертое и т.д. т-е уравнение, увидим, что переменная взаи­мосвязана с ошибками и ее вхождение в правую часть этих уравнений в качестве независимого фактора в случае использования МНК влечет за собой смещение оценок их параметров.

Точно так же можно показать наличие взаимосвязей и между дру­гими эндогенными переменными, рассматриваемыми в уравнениях системы (8.9) в качестве независимых факторов, и ошибками этих уравнений.

При сопоставлении структурной и приведенной форм системы (8.11) следует иметь в виду, что при заданном составе эндогенных и экзоген­ных переменных приведенная форма является единственной, определен­ной матричным уравнением (8.13). В то же время структурная форма вытекает из содержательных предпосылок, лежащих в основе модели, отражающих эмпирический опыт, интуицию исследователя, то или иное направление экономической теории. Вследствие этого даже при из­вестном составе эндогенных и экзогенных переменных в общем случае может существовать множество структурных форм, каждая из кото­рых определяется специфическими соотношениями включенных перемен­ных, в свою очередь отражающими определенные варианты содержа­тельных предпосылок системы (8.9).

Можно показать, что некоторые из этих форм взаимосвязаны между собой. Предположим, что существует невырожденная матрица F размера . Умножим выражение (8.11) слева на эту матрицу. В результате имеем

. (8.18)

Обозначив , , получим новую структурную форму . В частности, приведенная форма (8.13) получена при условии, что .

Преобразуем новую структурную форму (8.18) в приведенную. Для этого умножим это выражение слева на матрицу .

В результате получим следующее выражение:

, (8.19)

которое с учетом правила умножения обратных матриц преобразуется к уже известной системе (8.13).

 

.

Выражения (8.18) и (8.19) формально доказывают единственность приведенной формы и множественность структурных форм для заданного состава эндогенных и экзогенных переменных.

Заметим, что структурная форма системы взаимозависимых экономет­рических моделей (8.11) может быть представлена и в более компактной форме записи

, (8.20)

 

где вектор размера объединяет векторы и , а матрица D раз­мера объединяет матрицы А и В.

, (8.21)

где матрица образованная построчным присоединением матрицы В к матрице А. Таким образом, она содержит т строк и столбец. Кроме того, заметим, что и структурная форма (8.11) и приведенная фор­ма (8.9) сформированы для каждого из текущих индексов t. В общем ви­де, развернув каждую из переменных по индексу t, структурную форму (8.11) можно представить в следующем виде:

 

, (2.22)

где Y и X представляют собой матрицы размера и соответ­ственно:

 

, (2.23)

 

 

а матрица размера объединяет ряды ошибок :

. (2.24)

 

В ряде литературных источников можно встретить чуть более при­вычное развернутое представление системы (8.11), в котором элементы матрице и сформированы в виде векторов, состоящих из и компонент соответственно. Тогда общий вид этой системы определяется следующим выражением:

, (2.25)

где Y- блочно-диагональная матрица размера вида

 

; (2.26)

; (8.27)

и матрицы Y и X определены выражением (8.23); и коэффициентов при эндогенных и экзогенных переменных:

 

; . (8.28)

вектор ошибки, состоящий из компонент:

. (8.29)

Выражения (8.22) и (8.25) представляют собой альтернативные формы записи общего вида системы (8.11), в которых фигурирует весь состав эндогенных и экзогенных переменных. Вместе с тем, как это было видно из рассмотренных выше примеров, в конкретных системах взаимосвязи между отдельными переменными могут либо отсутство­вать, либо быть определены заранее. Например, в системе (8.1) в пер­вом уравнении не присутствует экзогенная переменная . В системе (8.6) уже известны коэффициенты балансового соотношения при эндо­генной переменной и экзогенной переменной . Они оба равны единице. В этих случаях на соответствующих местах в матрицах А и В (выражение (8.25)) должны стоять либо нули (при отсутствии в урав­нении соответствующей переменной), либо известные значения коэф­фициентов.

Между коэффициентами структурной формы могут иметь место и бо­лее сложные взаимосвязи (например, в виде алгебраических соотноше­ний, типа равенств), вытекающие из предпосылок экономической теории.

Так, известная функция Кобба-Дугласа часто рассматри­вается с учетом условия . Эти ограничения, как это будет показа­но далее, играют существенную роль при оценке коэффициентов систем взаимозависимых эконометрических моделей.

Рассмотрим некоторые примеры систем взаимозависимых экономет­рических моделей, которые использовались в исследованиях реальных процессов, и соответствующие им структурные и приведенные формы.

Пример 8.1.

Для исследования динамики цен и потребления электроэнергии, фор­мирования на основе выявленных закономерностей рациональной поли­тики в сфере электроснабжения в США была использована следующая система из двух взаимозависимых уравнений, по содержанию эндогенных переменных похожая на систему (8.1):

 

,

(2.30)

где и коэффициенты системы (8.30), помеченные «штрих», чтобы выделить отличие их знаков от соответствующих коэффициентов структурной формы;

и среднегодовое количество электроэнергии в расчете на одного потребителя;

и цена за единицу потребляемой электроэнергии;

и годовой доход в расчете на одного человека;

и средняя цена за потребляемый жилищным комплексом

газ;

и количество теплых дней в году; х4=1пУ₄ и и средняя температура июля;

и процент населения, проживающего в сельской местно­сти;

и средний размер домохозяйства;

и стоимость рабочей силы (заработная плата);

и процент энергии, произведенной акционерными комму­нальными предприятиями;

и расход топлива на один киловатт-час электроэнергии;

и отношение количества промышленных предприятий, продающих электроэнергию, к количеству аналогичных территориальных компаний;

и временной фактор.

Исходные данные для модели (8.18) имеют пространственно-временную структуру. Они отражают уровни рассматриваемых процессов по 48 штатам за 9 лет. При этом отметим, что время являлось одним из факторов модели, аккумулирующим аспекты потребления электроэнергии, связанные с науч­но-техническим прогрессом. Таким образом, индекс в системе (8.18) соот­ветствует порядковому номеру набора, .

Первое уравнение определяет зависимость количества потребляемой электроэнергии от цены и показателей, отражающих особенности потре­бительского рынка в регионах в соответствующий год.

Во втором уравнении уже цена за электроэнергию ставится в зависи­мость от объемов ее производства (при условии, что производство равно потреблению) и ряда других факторов, влияющих на цену.

Структурная форма системы (8.30) в соответствии с выражениями (8.9), (8.11), (8.12) характеризуется следующими векторами и матрицами:

 

; ;

 

 

Отметим, что в матрице В в первой и второй строках нулевые элемен­ты стоят на местах факторов, которые отсутствуют в соответствующем уравнении системы (8.30).

Приведенная форма системы (8.30) может быть представлена следую­щей системой уравнений:

 

. (8.31)

которая, в свою очередь, в векторно-матричной форме выражается урав­нением (8.13) с матрицей С следующего вида:

 

.

Заметим, что в выражении (8.31) на коэффициенты , не накладывается никаких ограничений. В частности, не тре­буется равенства нулю тех коэффициентов, которые были равны нулю в структурной форме.

Пример 8.2.

Для анализа закономерностей и пропорций государственных расходов и федеральных субсидий в США была использована следующая система из двух взаимозависимых уравнений:

. (8.32)

где государственные расходы, производимые на местном уровне в штате t; уровень федеральных субсидий в t-м штате; доход t - го штата; численность населения, проживающая в t-м штате; чис­ленность учащихся в школах 1 -й и 2-й ступеней в t-м штате.

В данном случае индекс t характеризует номер штата и исходная ин­формация имеет пространственный характер. Она была собрана за один год. Однако эта информация может иметь и пространственно-временной характер, как в предыдущем примере.

Первое уравнение описывает распределение государственных расхо­дов по административным территориям, в зависимости от уровня феде­ральных субсидий, дохода самих территорий и численности проживаю­щего населения.

Во втором уравнении уже федеральные субсидии территориям рас­сматриваются как зависимая переменная, на уровень которой влияют го­сударственные расходы и численность учащихся в школах 1-й и 2-й сту­пеней, являющихся основными «потребителями» этих субсидий.

Целесообразность формирования такой системы связана с тем, что фе­деральные субсидии и правительственные расходы зачастую направляются на одни и те же программы, как бы «конкурируя» друг с другом. Увеличе­ние одной переменной обычно влечет за собой снижение уровня другой.

Матрицы структурной формы модели (8.32) имеют следующий вид:

 

 

 

Приведенная форма модели (8.32) может быть представлена следую­щей системой уравнений:

, (8.33)

где коэффициенты у« в общем случае не являются тождественными нуля­ми, /=1,2; 7=1,2,3.

 

 

Пример 8.3.

Примером системы взаимозависимых эконометрических моделей, включающей в себя балансовые соотношения, является так называемая модель Людеке, разработанная для описания макроэкономических про­цессов на уровне государства. Она может быть представлена в следую­щем виде:

 

(8.34)

где уровень потребления в году t; ; инвестиции; им­порт, ; национальный доход ; доход от предприниматель­ской деятельности в прошедшем периоде, т.е. в t-1; государственные расходы плюс государственные чистые инвестиции в основной капитал плюс изменения в товарных запасах плюс субсидии минус косвенные на­логи; экспорт.

Первое уравнение системы (8.34) описывает динамику потребления с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимости от про­изведенного в государстве дохода; второе - динамику инвестиций как функцию от национального дохода и дохода, полученного в прошлом го­ду в результате предпринимательской деятельности; третье - динамику импорта с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимо­сти от национального дохода и последнее уравнение представляет собой балансовое соотношение, характеризующее распределение национально­го дохода на основные составляющие.

Система (8.34) содержит четыре эндогенные переменные и пять экзо­генных, в число которых входят две запаздывающие эндогенные пере­менные (потребление прошлого года) и (импорт прошлого года) и одна запаздывающая чисто экзогенная переменная (доход от пред­принимательской деятельности прошлого года), которая однако рассмат­ривается как не запаздывающая, поскольку переменная в модели отсут­ствует.

Взаимозависимый характер модели (8.34) придает вхождение в правые части первых трех уравнений переменной, выражающей национальный доход, которая, в свою очередь, представлена балансовым соотношением. В результате переменная у_4г оказывается статистически взаимосвязанной с ошибками уравнений , , и , что является причиной несостоятель­ности МНК (смущённости оценок коэффициентов первых трех уравнений системы в случае использования этого метода).

Структурная форма модели (8.34) характеризуется следующими век­торами и матрицами:

,

 

где

 

Заметим, что приведенная форма системы (8.34) должна определяться уравнениями, в правых частях которых нет не запаздывающих эндоген­ных переменных, а запаздывающие рассматриваются как не запаздывающие экзогенные переменные. С учетом этого замечания данная форма может быть представлена в следующем виде:

. (8.35)

 

Обратим внимание на то, что при отсутствии автокорреляции во вре­менных рядах ошибок (см. условие (8.3)) запаздывающие эндогенные переменные и ошибки являются статистически независимыми и эти переменные можно рассматривать в приведенной форме как экзоген­ные.

Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что матрицы А и В, образующие структурную форму системы взаимозависимых эконометри­ческих моделей, часто содержат некоторое количество известных (предо­пределенных) элементов. В то же время матрица С из приведенной фор­мы содержит только неизвестные элементы. Их количество соответствует числу экзогенных переменных модели.

Приведенная форма системы взаимозависимых эконометрических мо­делей играет важную роль в решении проблемы получения несмещенных оценок коэффициентов структурной формы этой системы. Эта проблема более подробно рассматривается в следующих разделах этой главы.

8.3. Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы систем взаимозависимых эконометрических моделей

В разделе 8.2 было показано, что использование МНК приводит к смещению оценок коэффициентов только структурной формы модели. В силу статистической независимости экзогенных переменных и ошибок структурной и приведенной форм оценки коэффициентов приведенной формы, полученные с использованием МНК, являются несмещенными (часто имеется в виду свойство их состоятельности). При этом ничто не мешает с помощью этого метода определить оценки коэффициентов каж­дого уравнения приведенной формы отдельно от других.

Это замечание наводит на мысль использовать для оценки коэффици­ентов структурной формы алгебраическое матричное уравнение (8.15) или его аналог, который может быть представлен в следующем виде:

(8.36)

где 0 обозначает матрицу соответствующего размера с нулевыми элемен­тами.

В выражении (8.36) в качестве неизвестных рассматриваются элементы матриц структурной формы А и В, в то время как элементы матрицы приве­денной формы С являются известными. Их можно определить путем исполь­зования МНК для оценки коэффициентов приведенной формы (8.13), (8.14) при известных значениях эндогенных и экзогенных переменных. Такой под­ход получил название косвенного метода оценки коэффициентов структур­ной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей.

Теоретически косвенный метод представляется вполне приемлемым. Оценки коэффициентов матрицы С в силу независимости экзогенных пе­ременных и ошибок соответствующих приведенных уравнений являются несмещенными и эффективными.

Однако, к сожалению, как свидетельствуют результаты практических исследований, оценки коэффициентов структурной формы, полученные путем решения системы уравнений типа (8.36), свойство несмещенности, как правило, теряют. От оценок приведенной формы к оценкам структур­ной формы передается свойство состоятельности. Кроме того, использова­ние соотношений типа (8.36) для получения оценок коэффициентов струк­турной формы в общем случае вообще представляется неприемлемым. В самом деле, заметим, что система (8.36) содержит уравнений (по числу элементов, содержащихся в матрице 0), а неизвестных коэффициен­тов в общем случае в ней , в том числе коэффициентов со­держит матрица А, а коэффициентов - матрица В. Вследствие этого система (8.36) в общем случае не имеет единственного решения.

Вместе с тем часто в конкретных исследованиях (см. примеры раздела
8.2) на коэффициенты матрицы А и В накладывают дополнительные ап-
риорные ограничения, вытекающие, например, из теоретических предпо-
сылок, эмпирических результатов, интуитивных предположений. При
достаточном количестве таких ограничений число неизвестных парамет-
ров в матрицах А к В может быть снижено до уровня, обеспечивающего
разрешимость системы (8.36). '

В общем случае ограничения на структурные параметры моделей сис­темы (8.36) подразделяются на исключающие и линейно однородные.

При исключающих ограничениях коэффициент при отсутствующей в уравнении переменной приравнивается к нулю. При линейно однородных ограничениях значения некоторых коэффициентов приравниваются к конкретному числу, вытекающему из условий соотношений, в которые входят соответствующие им переменные. Так, в примере 8,3 в первых трех строках в матрице В использованы только исключающие ограниче­ния. В четвертой строке матриц А и В использованы как исключающие, так и линейно однородные ограничения, соответствующие четвертом) (балансовому) уравнению системы (8.34).

Рассмотрим условия, определяющие возможности использования вы­ражения (8.36) для оценки коэффициентов структурной формы системы (8.11), более подробно для отдельного входящего в эту систему уравне­ния. Для этого представим выражение (8.36) с использованием матрицы в следующем виде:

. (8.37)

 

матрица размера , образованная присоединением столбцов матрицы В к матрице А;

 

матрица размера , образованная присоединением строк квадратной единичной матрицы размера к мат­рице C;

 

. (8.38)

Легко видеть, что выражение (8.37) является другим вариантом записи уравнения (8.36):

в котором матрица D образована неизвестными коэффициентами струк­турной формы, а матрица G - известными коэффициентами приведенной формы и единичными элементами матрицы .

Рассмотрим произведение первой строки матрицы D на матрицу G, ре­зультатом которого является система однородных линейных уравнений, определяющая значения коэффициентов первой модели системы (8.11). Это произведение может быть представлено в следующем виде:

(8.39)

где вектор-строка, составленная из коэффициентов первого уравне­ния системы (8.11), и 0 в правой части означает нулевой вектор-строку соответствующего размера.

В развернутом виде с учетом (8.9) и (8.14) систему (8.39) можно запи­сать следующим образом:

, (8.40)

где неизвестные оценки соответствующих коэффициентов матрицы А; неизвестные оценки коэффициентов первого столбца матрицы В; иизвестные оценки коэффициентов приведенной формы системы (эле­ментов матрицы C); .

Заметим, что система (8.40) выражает несколько другую запись урав­нения (8.39), которая в векторно-матричной форме записывается как

.

 

Система (8.40) в общем случае включает в себя однородное урав­нение и содержит неизвестное (оценки коэффициентов и . Вместе с тем для однозначного определения этих оценок необходимо, чтобы количество неизвестных среди них было рав­но рангу матрицы G за вычетом единицы.

Если обозначить количество известных коэффициентов в строке как , а неизвестных - как , , а ранг матрицы G - как p(G), то это условие может быть представлено в следующем виде:

(8.41)

Выражение (8.41) известно как условие идентифицируемости системы

(8.11) или ее некоторой модификации.

Напомним, что при выполнении условия (8.41) значения неизвестных

коэффициентов системы (8.39) и ; определяются с точностью до множителя. Конкретные их значения можно полу­чить, выбрав «подходящее» значение одного из коэффициентов заранее, а остальные в ходе решения системы (8.40) с использованием соответст­вующего метода (метода Гаусса, Крамера и т.п.). В нашем случае, как правило, единственное решение системы (8.39) можно получить, прирав­няв к единице коэффициент . Это естественное ограничение вытекает из формы записи первого уравнения системы (8.11) (см. примеры 8.1-8.3). Для других уравнений необходимо приравнивать к единице коэффи­циенты При этом следует иметь в виду, что это естественное ограничение не должно учитываться в соотношении (8.41), т.е. не должно входить в число .

При относительно небольшом числе неизвестных параметров в первой строке матрицы D (эта относительность определяется соотношением , система (8.39) становится переидентифицированной (сверх-идентифируемой). Получение единственного решения в этом случае воз­можно, если, например, существуют ограничения на коэффициенты при­веденной формы системы эконометрических моделей, уменьшающие ранг матрицы G. С этой же целью можно попытаться использовать при­веденную форму с меньшим числом экзогенных переменных, если это не расходится с предпосылками, лежащими в основе системы моделей.

При условии система (8.39) является недоиндентифицируемой и без дополнительных ограничений на параметры структурной формы одно­значно оценить их значения с помощью приведенной