ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Задание №4

На основе данных, приведенных в таблице 8 и соответствующих варианту 72, постройте модель временного ряда. Для этого требуется:

1. Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.

2. Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.

3. Построить уравнения тренда и сделать выводы.

4. На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.

Таблица 8

Основные показатели развития производственной фирмы

(по сопоставимой оценке)

N наблюдения	Год	Квартал	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.
А	Б	В

Решение:

Чтобы построить коррелогорамму для нашего примера, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени (таблица 9).

Таблица 9

t
х_t	-		r_t,t-1=	0,3138		1173,45	s_t	293,49
x_t-1	-				1107,09	s_t-L	315,83
х_t	-	-	r_t,t-2=	-0,3304		1218,20	s_t	266,90
х_t-2	-	-			1072,00	s_t-L	309,49
х_t	-	-	r_t,t-3=	0,2829		1225,44	s_t	282,04
х_t-3	-	-			1052,67	s_t-L	321,80
х_t	-	-	r_t,t-4=	0,6916		1227,00	s_t	301,47
х_t-4	-	-			1063,38	s_t-L	342,30
х_t	-	-	r_t,t-5=	0,2002		1274,00	s_t	292,26

Результаты расчетов представлены в таблице 10.

Таблица 10

Лаг (порядок) – L	r_t,t-L	Коррелограмма
	0,3138	****
	-0,3304	*
	0,2829	***
	0,6916	*****
	0,2002	**

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. r_t,t-1=0,3138 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. r_t,t-4=0,6916 →1).

2. Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель).

Процесс построения модели временного ряда (х), содержащего n уровней некоторого показателя за Z лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (х^c). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 12 (столбец 4).

2) Расчет значений сезонной составляющей S_i, i=1;L, где L– число сезонов в году. Для нашего примера L=4 (сезоны - кварталы).

Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x - x^c (столбец 5, таблица 12). Для дальнейшего расчета S_i построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x - x^c. По этим данным рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (S^c_i). Если сумма всех средних оценок равна нулю ( ), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S_i=S^c_i). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу ( ). Для нашего примера расчет значений S_i представлен в таблице 11.

Таблица 11

Номер сезона	Год 1	Год 2	Год 3	Средняя оценка сезонной составляющей	Скорректированная оценка сезонной составляяющей S_i
	-	125,0	264,0	194,5	191,4
	-	-70,3	-304,0	-187,2	-190,3
	-127,7	-250,3	22,3	-118,6	-121,7
	122,3	162,7	86,0	123,7	120,6
Итого				12,4	0,0

3) Устранение влияния сезонной составляющей из исходного ряда динамики: x^S= x-S_i. Результаты расчета x^S для нашего примера представлены в столбце 6 таблицы 12.

4) Аналитическое выравнивание уровней x^S (построение тренда): .

Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. Для этого вводится новая условная переменная времени t^y, такая, что åt^y =0. Уравнение тренда при этом будет следующим: .

Параметры уравнения рассчитываются по формулам:

Интерпретация параметров линейного уравнения тренда :

- уровень ряда за период времени t^у=0;

- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.

В нашем примере четное число уровней ряда: n=12. Следовательно, условная переменная времени для 6-ого элемента ряда будет равна –1, а для 7-ого +1. Значения переменной _i^y содержатся во 2-ом столбце таблицы 12.

Параметры линейного тренда будут: =12630,33/572=22,081; =13590/12=1132,5.

Рассчитаем значения трендовой компоненты по формуле (столбец 7 таблицы 12).

Полученное уравнение показывает, что среднегодовая стоимость основных производственных фондов данного предприятия растет в среднем на 22,081млн. руб. в год.

5) Учет сезонной составляющей в выровненных уровнях ряда ( =T+S). Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 8 таблицы 12.

6) Расчет абсолютной ошибки временного ряда (Е=x- ) осуществляется для оценки качества полученной модели. Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 9 таблицы 12.

Таблица 12

T	t^у	x	x^c	x- x^c	x^s	T		E
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	-11		-	-	872,3	889,61	699,33	-17,33
	-9		853,7	-127,7	847,7	933,77	812,10	-86,10
	-7		1030,7	122,3	1032,4	977,93	1098,49	54,51
	-5		1088,0	125,0	1021,6	1022,09	1213,48	-0,48
	-3		968,3	-70,3	1088,3	1066,26	875,98	22,02
	-1		1044,3	-250,3	915,7	1110,42	988,75	-194,75
			1278,3	162,7	1320,4	1154,58	1275,14	165,86
			1336,0	264,0	1408,6	1198,74	1390,13	209,87
			1271,0	-304,0	1157,3	1242,91	1052,63	-85,63
			1223,7	22,3	1367,7	1287,07	1165,40	80,60
			1372,0	86,0	1337,4	1331,23	1451,78	6,22
			-	-	1220,6	1375,39	1566,78	-154,78
Итого				13590,0	13590,0	13590,0

Значимость параметров линейного уравнения тренда (Т) определяется на основе t-критерия Стьюдента также как и в линейном парном регрессионном анализе.

4. Прогнозирование по аддитивной модели.

Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n+2). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х_n₊₁ в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i–ому сезону прогноза): =T_n₊₂+S_i.

Тn+2 = 1132.5+22.081*15 = 1463,715

= 1463,715 – 121,7 = 1342,015

Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:

152,98

где h- число параметров в уравнении тренда;

t^yp – значение условной переменной времени для периода прогнозирования.

Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: D^р =t_a·m_р,

где t_a =1,812461- коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h).

Окончательно получим с вероятностью 95% среднегодовая стоимость ОПФ компании через 2 квартала будет лежать в интервале от 1064,747 млн. руб. до 1619,283 млн. руб.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.И. Прикладная статистика и эконометрика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер.с англ. –М.: ИНФРА-М, 2000.

3. Практикум по эконометрике. / Под ред. члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001.

4. Эконометрика. / Под ред. члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001.