Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (у_р) значение как точечный прогноз у_i при x_p = x_i, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*)

.

Подставим в уравнение регрессии выражение параметра

.

Тогда уравнение регрессии примет вид:

.

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки Н среднего и ошибки коэффициента регрессии b.

После преобразований получим следующее выражение для расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения:

.

Данная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х характеризует ошибку положения линии регрессии. Как видно из формулы, величина стандартной ошибки достигает минимума при и возрастает по мере того, как удаляется от среднего в любом направлении. Иными словами, можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если x находится в центре области наблюдения. Если же значение x находится за пределами наблюдаемых значений, то результаты прогноза ухудшаются.

На графике доверительные границы для у_х представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.

Рис. 8.2 показывает, как изменяются пределы в зависимости от изменения x_k:две гиперболы по обе стороны от линии регрессии определяют 95%-ные доверительные интервалы для среднего значения у при заданном значении х.

Ширина интервала зависит от количества наблюдений и величины дисперсии V(x).

Рис 8.2. Доверительный интервал линии регрессии:
а – верхняя доверительная граница; б – линия регрессии;
в – доверительный интервал; г – нижняя доверительная граница