I. Платон и геометрия (1957)

Во втором издании этой книги я существенно дополнил примечание 9 к главе 6 (с. 308-315). Выдвинутая в этом примечании историческая гипотеза впоследствии получила развитие в моей статье «Характер философских проблем и их научные корни» (К. Popper. The Nature of Philosophical Problems and Their Roots in Science // British Journal for the Philosophy of Science, 1952, vol. 3, pp. 124 и след.; впоследствии она была включена в мою книгу «Conjectures and Refutations»). Ее можно сформулировать в таком виде:

(1) Открытие иррациональности квадратного корня из двух, которое привело к краху пифагорейской программы сведения геометрии и космологии (и, по-видимому, всего знания) к арифметике, вызвало кризис греческой математики.

(2) «Начала» Евклида представляют собой не учебник геометрии, а скорее последнюю попытку платоновской школы преодолеть этот кризис путем перестройки всей математики и космологии на фундаменте геометрии (что означало инверсию пифагорейской программы арифметизации) для того, чтобы иметь дело с проблемой несоизмеримости на систематической основе, а не ad hoc.

(3) Именно Платоном была впервые задумана программа, впоследствии реализованная Евклидом: Платон первым осознал необходимость перестройки и, выбрав геометрию в качестве нового фундамента и метод геометрических пропорций в качестве нового метода, выдвинул программу геометризации математики, включая арифметику, астрономию и космологию; именно его идеи легли в основу геометрической картины мира, а, следовательно, и современной науки — науки Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.

Я высказал предположение, что знаменитая надпись над входом в платоновскую Академию (см. с. 308, (2)) имела в виду эту программу геометризации. (То, что было намерение провозгласить инверсию пифагорейской программы, подтверждает Архит — см. Diels-Kranz, фрагмент А.)

На с. 310 я высказал предположение о том, что «Платон был одним из первых создателей специфически геометрической методологии, цель которой состояла в спасении того, что можно было в математике спасти, и в покрытии издержек «краха пифагореизма», охарактеризовав это предположение как «весьма смелую историческую гипотезу». Я не считаю отныне эту гипотезу столь уж сомнительной. Напротив, теперь я чувствую, что, прочитав заново в свете этой гипотезы сочинения Платона, Аристотеля, Евклида и Прокла, можно получить столько подкрепляющих ее свидетельств, сколько трудно было бы даже вообразить. В дополнение к убедительным фактам, на которые есть ссылка в только что цитированном абзаце, я хотел бы также обратить внимание на то, что уже «Горгий» (451 а/b; с; 453 е) относит обсуждение «четного» и «нечетного» к компетенции арифметики, тем самым четко отождествляя последнюю с пифагорейской теорией чисел, тогда как геометр характеризуется в нем как человек, овладевший методом пропорций (465 b/с). Более того, в другом отрывке из «Горгия» (508 а) Платон не только говорит о геометрическом равенстве (см. прим. 48 к гл. 8), но также вводит неявно принцип, который позднее был развит им во всей полноте в «Тимее» и согласно которому космический порядок есть порядок геометрический. В этой связи из «Горгия» следует также, что термин не ассоциируется у Платона с иррациональными числами, ибо, как сказано в отрывке 465 а, даже умение, или искусство, не должно быть для такой же науки, как геометрия, это верно a fortiori. Я думаю, чтоможно перевести просто как «алогичный» (см. также «Горгий», 496 а/b и 522 е). Эта деталь важна для интерпретации названия утерянного сочинения Демокрита, упомянутого на с. 309.

Моя статья «The Nature of Philosophical Problems and Their Roots in Science» содержит ряд идущих еще дальше предположений, касающихся платоновской геометризации арифметики и космологии в целом, осуществленной им инверсии пифагорейской программы, а также его теории форм.

Добавлено в 1961 г.

Поскольку это «Дополнение» было впервые опубликовано в 1957 г., в третьем издании настоящей книги я почти случайно обнаружил интересное подтверждение сформулированной мною исторической гипотезы (см. пункт (2) первого абзаца этого «Дополнения»). Речь идет об одном месте в комментариях Прокла к Первой книге «Начал» Евклида (ed. Friedlein, 1873, Prologus II, p. 71, 2-5), ясно показывающем, что существовала традиция, рассматривавшая евклидовы «Начала» как платоновскую космологию, т. е. как разработку проблематики «Тимея».