Интерполирование по таблице функции двух аргументов

Функция задана таблицей своих значений; значения заданы с шагом , значения - с шагом . Табличные значения функции – , индекс – для , индекс – для , . Требуется найти значение функции для некоторых и , несовпадающих с узлами таблицы.

Эту задачу можно решить, интерполируя раз по при нескольких табличных значениях одним из методов точечного интерполирования. Так получим таблицу

t1 f=f(xj,t1)
t2 f=f(xj,t2)
tn f=f(xj,tn)

Теперь осталось найти значение как было сделано выше.

Пример. Задана функция двух переменных

 

x t 0.340 0.360 0.380 0.400 0.420 0.440
43.380 44.443 45.540 46.671 47.838 49.037
49.901 51.038 52.205 53.399 54.620 55.867
56.185 57.371 58.580 59.810 61.059 62.326
62.238 63.451 64.681 65.925 67.181 68.447
68.071 69.294 70.527 71.768 73.015 74.265
73.697 74.916 76.138 77.363 78.588 79.813

 

Найти значение функции

 

Проинтерполируем 6 раз по столбцам и найдем 6 значений функции для :

x t 0.340 0.360 0.380 0.387 0.400 0.420 0.440
43.380 44.443 45.540 45.932 46.671 47.838 49.037
49.901 51.038 52.205 52.620 53.399 54.620 55.867
56.185 57.371 58.580 59.008 59.810 61.059 62.326
62.238 63.451 64.681 65.115 65.925 67.181 68.447
68.071 69.294 70.527 70.961 71.768 73.015 74.265
73.697 74.916 76.138 76.566 77.363 78.588 79.813

 

Так получим таблицу

x t 0.387
45.932
52.620
59.008
65.115
70.961
76.566

 

 

По этой таблице несложно найти значение функции для :

 

.

 

Можно проконтролировать вычисления, изменив порядок интерполирования – вначале найти таблицу , а затем . Результат должен быть тем же.

 

 

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ТАБЛИЦЕ

Интерполяционными формулами как приближением табличной функции можно воспользоваться для приближенного вычисления производной приближаемой функции в произвольной точке. Интерполяционный полином строится обычно для нормированного значения аргумента . Обозначим интерполяционный полином через , а интерполируемую функцию . Тогда

, , , .

Аналогично .

 

Найдем производные с использованием формулы Стирлинга. Выпишем ее в виде, предшествующем [14]

.

.

. [18]

В простейшем случае, ограничиваясь первыми слагаемыми, имеем

,

; [19a]

,

. [19b]

Если требуется вычисление производных вблизи начала таблицы, то придется использовать формулу Ньютона для интерполирования «вперед» [16]:

,

. [20]

 

Если требуется вычисление производных вблизи конца таблицы, то придется использовать формулу Ньютона для интерполирования «назад» [17]:

,

. [21]

 

Пример. Пусть требуется вычислить значение 1-й 2-й производной x при t=0.05 по формуле Стирлинга.

h=0.1, примем t0=0, поэтому . Из [12]

, .

,

.

 

Таким образом, можно находить производные m-го порядка. Очевидно, что порядок искомой производной должен быть не больше порядка используемых разностей. Если порядок производной больше табличных разностей, то она тождественно обращается в 0.

 

содержание