Интерполирование по таблице с постоянным шагом

Для таблицы с постоянным шагом значения аргумента образуют арифметическую прогрессию , где h – шаг таблицы. Запишем таблицу в виде двух столбцов . Из каждого значения функции вычтем предыдущее и разность запишем в следующем столбце между теми значениями, из которых получена разность (то есть, ):

 

Таблица 3

Таблица обыкновенных и центральных разностей

 

T X разности 1 порядка разности 2 порядка разности 3 порядка разности 4 порядка разности 5 порядка разности 6 порядка
t-3 x-3            
    D1-5/2          
t-2 x-2   D2-2        
    D1-3/2   D3-3/2      
t-1 x-1   D21   D4-1    
    D1-1/2   D3-1/2   D5-1/2  
t0 x0 D10 D20 D30 D40 D50 D60
    D11/2   D31/2   D51/2  
t1 x1   D21   D41    
    D13/2   D33/2      
t2 x2   D22        
    D15/2          
t3 x3            

 

Отметим, что в принятых обозначениях – верхний индекс – порядок разности; нижний индекс – среднее арифметическое индексов функции, из которых разность получена.

В таблице введены центральные разности

, , .

По величине разностей можно судить о том, какой степени интерполяционный полином необходим для достижения точности значений, соответствующей точности узлов таблицы. Если табличная функция допускает приближение полиномом n-й степени, то в этой таблице разности n-го порядка будут почти постоянными. Разности следующего порядка будут пренебрежимо малы.

Отметим, что свойство постоянства n-х разностей справедливо только для таблиц точных значений полиномов. Если значения в узлах таблицы известны с некоторой точностью и погрешность округления равна половине единицы последнего разряда табличного значения функции, то вспомним, что при вычитании двух приближенных чисел абсолютные погрешности складываются. Отсюда погрешность 1-й разности равна единице последнего разряда; погрешность 2-й разности равна 2-м единицам последнего разряда; погрешность 3-й разности равна 4-м единицам последнего разряда и так далее.

Разности x Dx D2x D3x D4x D5x … Dkx
Абсолютная погрешность 1/2 … 2k-1

Таким образом, из-за неизбежной погрешности округления на практике обычно не следует пользоваться разностями выше 4-5-го порядков.

Будем считать, что разности k-го порядка практически равны нулю, если их сумма и величина каждой из них меньше, чем соответствующая погрешность округления, а знаки стоят в беспорядке или чередуются.

 

Построение таблицы разностей есть единственный способ выяснить нужную степень интерполяционного полинома, то есть число узлов, необходимое для удовлетворительного приближения.

Проконтролировать вычисление таблицы разностей можно просуммировав сами разности:

Соответственно

и так далее.

Обобщая, имеем: сумма значений в каждом столбце разностей равна разности между последним и первым значениями предыдущего столбца.

 

Пример построения таблицы обыкновенных и центральных разностей

 

T X разности 1 порядка разности 2 порядка разности 3 порядка
t-3=-0.3 x-3=-0.027      
    D1-5/2=0.019    
t-2=-0.2 x-2=-0.008   D2-2=-0.012  
    D1-3/2=0.007   D3-3/2=0.006
t-1=-0.1 x-1=-0.001   D2-1=-0.006  
    D1-1/2=0.001   D3-1/2=0.006
t0=0 x0=0 D10=0.001 D20=0 D30=0.006
    D11/2=0.001   D31/2=0.006
t1=0.1 x1=0.001   D21=0.006  
    D13/2=0.007   D33/2=0.006
t2=0.2 x2=0.008   D22=0.012  
    D15/2=0.019    
t3=0.3 x3=0.027      

 

Пример. Построим таблицу обыкновенных разностей для функции с шагом 1О на отрезке с точностью до тысячных, определим, какие из них практически равны нулю. Вычисленные разности проконтролируем.

 

t x = sin t разности 1 порядка разности 2 порядка
0.017    
    0.018  
0.035   -0.001
    0.017  
0.052   0.001
    0.018  
0.070   -0.001
    0.017  
0.087   0.001
    0.018  
0.105   -0.001
    0.017  
0.122    
суммы 0.105 -0.001
Контрольные разности 0.122-0.017=0.105 0.017-0.018=-0.001 -0.001-(-0.001)=0