Уравнения касательной и нормали к плоской кривой

 

х0

Нормаль

j

М0

у0

Рис.5

х

у

Касательная

Пусть дана функция y=f(x). К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М₀(х₀;у₀). Угловой коэффициент касательной в точке М₀ равен значению производной функции f(x) в точке х₀, то есть k=tgj=f′(x₀).

Уравнение касательной, проходящей

через точку М₀(х₀;у₀), имеет вид:

у-у₀= f′(x₀)(х-х₀).

Прямая, перпендикулярная к

касательной и проходящая через

точку М₀, называется нормалью.

Уравнение нормали в точке М₀(х₀;у₀):

у-у₀= (х-х₀).

_________________

4.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:

а) у=х²-4х+3, х₀=-1; б) у=х²е^-х, х₀=1;

в) у=-х²+6х-5

в точках пересечения с осью ОY.

Ответ: а) у=-6х+2; б) ; в) у=6х-5;

; у=-е+е+ ; -5.

4.4.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой у=2х-1?

Ответ: (3;-2); (-1; 2/3).

4.4.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х₀=-1.

Ответ: 4,5.

4.4.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)=2x²+4x+3. Найти сумму абсцисс точек касания.

Ответ: 2.

4.4.5. Написать уравнения касательных к окружности х²+у²+4х-4у+3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.

Ответ: 2у=-х-3; 2у=х+1.

4.4.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х²-у²=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.

Ответ: ; (40;40).

_____________

 

4.4.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:

а) у=х³, х₀= -2; б) у=2х-х² в точках пересечения кривой с осью ОХ;

в) у=2х²-5, у=х²-3х+5 в точках пересечения этих кривых.

Ответ: а) у=12х+24; б) у=2х; у=-2х+4;

; ; ;

в) у=8х-16; у= ; у=-20х-100; у= ; <>у=х-2; у= -х+2; у= -13х-65; у= .

4.4.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямой у=2х-5?

Ответ: (0;-1); (-2;3).

4.4.9. Написать уравнения касательных к астроиде х^2/3+у^2/3=а^2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.

Ответ: .