Векторы. Линейные операции над векторами
Геометрическийвектор 
- это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.
Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка [АВ]. Векторы обозначают как 
, а их длины 
.
Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым 
.
Произведением вектора 
на некоторое число αÎR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженный на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора , если α>0, и противоположно ему, если α<0.
Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.
Проекцией вектора на ось ОХ называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и положительным направлением оси ОХ.
Если векторы и 
заданы своими координатами, т.е 
, то вектор k будет иметь координаты k 
1, k 2,…,k 
n, где k – действительное число; векторы + будут иметь координаты 
, 
,…, 
.
Пусть имеется трехмерная прямоугольная система координат, в которой задана точка М(x,y,z).
Радиусом – вектором точки М называется вектор 
, соединяющий начало координат с этой точкой.
Длина радиуса – вектора определяется как 
;
Единичные векторы координат осей 
называются ортами. Радиус – вектор через орты выражается как 
= 
. Если вектор задан координатами точек начала А(x1,y1,z1) и конца В(x2,y2,z2), то 
;
.
Углы α,β,γ между вектором 
и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом 
, причем cos2α+cos2β+cos2γ=1.
______________
2.1.1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы 
. М – середина стороны ВС, N – середина АС. ОА =3, ОВ=4. Выразить через 
векторы 
.
Ответ: 
2.1.2. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества
а) 
; б) 
.
Ответ:
2.1.3. В треугольной пирамиде SABC, где S – вершина, даны векторы 
. Найти вектор 
, где М – центр тяжести основания АВС.
Ответ: 
.
2.1.4. Даны векторы 
. Вектор 
- медиана ΔОАВ. Разложить аналитически и геометрически вектор 
по векторам 
.
Ответ: 
2.1.5. В параллелограмм АВСД заданы вершина С(6;-8;5) и векторы АС={-3;1;4}, ВД={2;-3;5} – его диагонали. Определить координаты точки В.
Ответ: В(6,5;-7;0,5).
2.1.6. Построить вектор 
= 
. Определить его длину и направление.
Ответ: | |=7.
2.1.7. В прямоугольной системе координат даны векторы 
и 
. Найти длину и направление вектора 
.
Ответ: 
.
2.1.8. Построить параллелограмм на векторах 
= 
и 
= 
. Определить его диагонали.
Ответ: 
= 
; 
= 
.
____________
2.1.9. На плоскости даны точки А(3;3); В(-3;3); С(-3;0); О(0;0). Построить вектор = 
. Выразить векторы 
через единичные векторы 
координатных осей. Найти длину и направление вектора .
Ответ: 
2.1.10. Определить координаты центра тяжести треугольника АВС, если А(5;1;12); В(11;3;8); С(2;5;0).
2.1.11. Построить точку М(5;-3;4). Определить длину и направление ее радиус – вектора.
Ответ: 
.
2.1.12. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы, если 
.
2.1.13. Даны векторы ={3;-2;1}, ={-2;4;-3}. Найти длину и направление вектора 
.
Ответ: 
.
2.1.14. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Найти координаты его четвертой вершины.
Ответ: Д(4;0;6).