Анализ задачи.

Статическая сторона задачи.

В поперечном сечении бруса (рис. 4.1а) с координатой x действует продольная сила, определяемая методом сечений:

, (4.1)

где Fi ( i = 1, 2…L) - силы приложенные слева от сечения,

Fk ( i = 1, 2…P) - силы приложенные справа.

Таким образом, продольная сила равна сумме всех внешних сил действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, причём силы направленные от сечения (растягивающие) берутся со знаком плюс, а направленные к сечению (сжимающие) со знаком минус.

Следуя приведенному правилу, знак продольной силы получим автоматически и выясним, растягивается или сжимается материал в данном сечении. На рис.4.1б представлен график изменения продольной силы вдоль длины бруса, который принято называть эпюрой.При нагружении сосредоточенными силами эпюра продольной силы имеет вид ступенчатой прямой. С помощью эпюры N(x) удобно находить участки или сечения бруса, в которых продольная сила принимает наибольшие растягивающие и сжимающие значения (так называемые опасные сечения).

С другой стороны, продольная сила является равнодействующей нормальных напряжений в рассматриваемом сечении:

(4.2)

Из (4.2) вытекает статическая неопределимость задачи: функция

σx= σx (x0,y,z) неоднозначно определена этим выражением.

 

Геометрическая сторона задачи.

Рассмотрим два смежных поперечных сечения бруса (рис.4.2),

Рис. 4.2 Перемещения поперечных сечений бруса при деформации чистое растяжение.

 

имеющие до нагружения координаты x и x+ dx. После нагружения эти сечения получат перемещения соответственно u и u+ du, оставаясь в соответствии с гипотезой плоских сечений, плоскими и нормальными к оси бруса. В процессе деформирования ось бруса останется прямой, а перемещения точек каждого поперечного сечения одинаковыми, т.е.

 

u (x,y,z) = u(x) (4.3)

 

Элемент бруса между сечениями x и x+dx длиной dx получит абсолютное линейное удлинение Δl = du, а относительная продольная деформация этого элемента и всех его продольных волокон будет:

 

εx= du / dx (4.4)

 

Последнее выражение носит название формула Коши и связывает перемещения u по оси OX с относительными линейными деформациями εx в этом направлении.

Таким образом, анализ кинематики деформаций добавил к неизвестной функции σx(x,y,z) ещё две связанные между собой зависимостью (4.4): u(x) и εx(x). Следовательно, для раскрытия статической неопределимости необходимо иметь дополнительную зависимость между σx(x,y,z) и одной из функций u(x) или εx(x). Установление таких физических связей (экспериментально или из теоретических соображений) является одной из важнейших задач механики деформируемого тела.

 

Физическая сторона задачи.

Связь между напряжениями и деформациями относительно просто устанавливается экспериментально именно при растяжении - сжатии путём испытания цилиндрических или призматических образцов на специальных испытательных машинах снабжённых приборами для измерения продольных усилий и соответствующих деформаций.

Обычно такой измерительный комплекс оформляется в виде диаграммного аппарата, позволяющего записать на бумагу график зависимости абсолютной деформации образца Δl от нагрузки P (т.н. диаграмма растяжения или сжатия). Подробно вопрос испытания материалов рассматривается на лабораторном практикуме (см. Приложение ). Для нас в данном случае важен лишь факт, что для всех материалов пока деформации относительно невелики, возможна линейная аппроксимация их связи с напряжениями (предполагается, что выполняется закон Гука). Наибольшие напряжения, до которых выполняется закон Гука, называются пределом пропорциональности (обозначается σпц).

Кроме того, испытание образцов на растяжение позволяет определить так называемую предельную для данного материала нагрузку Pпред при которой резко нарастают пластические деформации или происходит нарушение целостности – разрыв образца. Условие прочности приобретает вид:

P < Pпред , (4.5)

и предусматривает некоторый запас, величина которого обусловлена известной неопределенностью условий практически решаемых задач (величина расчётных нагрузок, нестабильность механических свойств материалов и т.п.). Поэтому удобнее записать условие прочности

P ≤ Pдоп , (4.6)

здесь Pдоп = Pпред / n , (4.7)

где Pдоп - допускаемая нагрузка, nкоэффициент запаса или как говорят инженеры ”коэффициент незнания” учитывающий упомянутые неопределённости.

Рассмотрим базовую часть призматического образца (ту часть на которой производят измерения) площадью поперечного сечения A, начальной длиной l и шириной b (рис. 4.3).

 

Рис. 4.3 Абсолютные продольные Δl и поперечные Δb деформации при растяжении образца.

 

При действии растягивающей нагрузки P образец удлинится на Δl и сузится на Δb. Продольные относительные деформации будут:

εпр = Δl / l , (4.8)

поперечные –

εпоп = - Δb / b. (4.9)

 

Отношение μ = - εпоп / εпр (4.10)

 

будет сохраняться постоянным и носит название коэффициент Пуассона. Теоретическое значение коэффициента Пуассона лежит в пределах 0 - 0.5. Для стали 0.27 - 0.32 и обычно принимается в расчётах 0.3. Из распространённых материалов наибольший приближающийся к 0.5 коэффициент Пуассона у резины, наименьший у пробки (кора пробкового дерева) – близок к нулю.

Эта способность материалов раздаваться при сжатии пропорционально μ сыграла однажды со мной злую шутку. Для экспериментального исследования деформаций в натурных конструкциях (тензометрия) широко используют так называемые тензорезисторы (электрические датчики сопротивления). Каждый датчик представляет собой миниатюрную плоскую спираль из тонкой нихромовой проволоки наклеенную на бумажную или синтетическую подложку. Датчик обладает электрическим сопротивлением (стандартно – 50, 100, или 200 Ом). Будучи наклеенным, на поверхность исследуемой конструкции датчик совместно с ней деформируется и меняет своё сопротивление. Эти изменения сопротивления относительно малы и регистрируются на специальных чувствительных мостиковых схемах. По величине изменения сопротивления можно судить о величине деформации конструкции в пределах базы датчика (100, 50, 20, 10, 5 и менее миллиметров). Для измерения деформаций созданы специальные тензометрические приборы и комплексы. Исследование методами электротензометрирования напряженно - деформированного состояния судовых конструкций в процессе постройки и эксплуатации широко используется в кораблестроении. До 70-х годов проблемой была наклейка датчиков на поверхность натурных стальных конструкций открытых влиянию ненастной погоды, в том числе строящихся судов.

Датчик должен клеиться на зачищенную мелкой шкуркой, сухую, обезжиренную поверхность по технологии, включающей термическую обработку в два этапа. Планировали такие эксперименты на тёплый сезон, но, как правило, по “ закону зла” конструкцию для испытаний предоставляли к концу года, отличающемуся в северном Причерноморье известной погодой. Так что клеить датчики нередко приходилось под дождём со снегом и сушить каждый терморадиатором. Учитывая нездоровый интерес к датчикам со стороны рабочих ( оставленный без присмотра датчик безжалостно срывался), снимали с занятий целые группы корфака* и к каждому датчику приставляли ”по студентке”. Если возникает проблема, то, как правило, находится и решение. Для стальных конструкций была разработана технология приварки тензорезисторов предварительно наклеенных на фольгу с помощью портативного аппарата для контактной сварки. На полоску фольги из нержавеющей стали толщиной около 0.1 мм клеится сразу группа датчиков. Условия наклейки камеральные, т.е. удобный рабочий стол в тёплой, хорошо освещённой лаборатории и возможность соблюдения всех деталей технологии, особенности которой, однако приходилось дорабатывать самостоятельно. И вот, собрав пакет из полос фольги с наклеенными датчиками и положив между ними прокладки из тонкой листовой резины, я сжал его между толстыми стальными пластинами струбциной и отправил в термошкаф на полимеризацию клея. После завершения процесса термосушки и разборки пакета я обнаружил, что около 30% датчиков не “звонятся”, т.е. получили обрывы (перед наклейкой датчики звонят и разбирают на группы с близким сопротивлением для облегчения балансировки тензоизмерительной аппаратуры). Будучи сильно озадаченным, я повторил эксперимент и получил примерно тот же результат. Подумав и обратив внимание, что при сжатии струбциной пакета, резиновые прокладки сильно раздаются, я пришел к правильному выводу о том, что раздающаяся при сжатии резина рвёт датчики. Оставалось подыскать подходящий материал с низким коэффициентом Пуассона. Пробкой (разве что от бутылок) я не располагал, а других изделий из коры пробкового дерева подходящей формы (вроде нынешних пробковых ковриков для компьютерных мышек) просто не было. Выручил картон от старых скоросшивателей. Дело пошло на лад и с той поры наша лаборатория выполнила большой объём экспериментальных исследований напряженно – деформированного состояния конструкций судов, доков и спецтехники с использованием оперативно устанавливаемых приварных тензорезисторов. Данное отступление прошу рассматривать как попытку передачи практического опыта “начинающим” тензометристам.

return false">ссылка скрыта

Итак, наблюдая линейную связь между напряжениями и деформациями на начальном этапе нагружения образца рис.4.4,

 

 

Рис.4.4 Начальный участок диаграммы растяжения. Линейная зависимость между нормальными напряжениями σx и малыми деформациями εx (закон Гука при растяжении-сжатии).

 

можем записать:

 

σ x ~ ε x ,

 

или переходя от пропорции к равенству

 

σ x = E ε x (4.11а)

 

- закону Гука при растяжении – сжатии, где Е - коэффициент пропорциональности, так называемый модуль Юнга (модуль первого рода, модуль продольной упругости). Из (4.11а) и рис. 4.4 следует

 

E = tg α , (4.12а),

 

где α - угол наклона начального участка диаграммы.

Закон Гука так же прост, как закон Ома и формулу (4.11а) можно разрешать относительно любой компоненты:

 

ε x = σ x / E (4.11б) ; E = σ x / ε x (4.11в).

 

Из (4.11а) следует, что модуль Юнга имеет размерность напряжений, а из последнего выражения, что при растяжении образца вдвое, когда εx =1

E = σx . Такие большие деформации не могут выдержать большинство современных конструкционных материалов. Они разрушаются при деформациях в десятки и сотни раз меньших, сильно уклоняясь от закона Гука, получив в большинстве случаев значительные пластические деформации. Поэтому величина модуля Юнга всегда значительная, например, для стали Eст = 2´105 МПа.