Принцип построения активных RC-цепей

Принцип создания активного фильтра на базе ОУ заключается в следующем (рис. 9.4).

 

Рис. 9.4 – Построение активного фильтра на основе ОУ

 

Пассивная часть устройства представлена в виде шестиполюсника из элементов R и С. Зажим 1 служит входом, между зажимами 2 и 3 через инвертирующий вход включен ОУ. Для того, чтобы найти передаточную функцию данной системы, опишем пассивный 6-полюсник с помощью его Y-матрицы:

I₁ = Y₁₁U₁ + Y₁₂U₂ + Y₁₃U₃ ,

I₂ = Y₂₁U₁ + Y₂₂U₂ + Y₂₃U₃ ,

I₃ = Y₃₁U₁ + Y₃₂U₂ + Y₃₃U₃ .

Если К₀ – коэффициент усиления ОУ, то U₃ = - K₀ U₂. Входная цепь ОУ не потребляет тока (R_vx → ∞, I₂ = 0), и поэтому на основании второго уравнения:

откуда передаточная функция системы

Считая, что К₀ >> 1, находим окончательно

K(p) = - Y₂₁ /Y₂₃ . (8)

Таким образом, передаточная функция активного RC-фильтра зависит исключительно от свойств пассивной цепи; коэффициент усиления ОУ и другие его параметры на окончательный результат не влияют. Поэтому создание систем с различными частотными характеристиками сводится к синтезу пассивных RC-цепей (в данном случае 6-полюсников) по заданным частотным характеристикам.

В качестве примера конкретной реализации таких систем можно рассмотреть схему фильтра нижних частот, передаточная функция которого определяется по формуле:

Задача синтеза сводится таким образом к подбору проводимостей элементов, которые обеспечивают требуемый вид частотной характеристики. По исходному условию все проводимости Y₁-Y₅ являются либо резисторами, либо конденсаторами с проводимостями Ср. Принципиально важно то, что передаточная функция активного фильтра выражается согласно (8) как отношение двух взаимных проводимостей Y₂₁ и Y₂₃. Полюсы К(р) при этом совпадают с нулями функции Y₂₃(p).

Сопоставляя данную передаточную функцию с классическим видом передаточной функции колебательного звена 2-го порядка, можно определить, что элементы Y₁, Y₃, Y₄ должны быть резисторами, а Y₂ и Y₅ – конденсаторами:

Полюсы передаточной функции при этом будут располагаться в точках:

И поскольку вещественные части координат полюсов отрицательны при любом выборе параметров, то данная цепь будет абсолютно устойчива (рис. 9.5).

Рис. 9.5 – Схема ФНЧ на основе ОУ