Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного однократного (определенного) и одного двойного интегралов или к вычислению, в конечном итоге, трех однократных (определенных) интегралов следующим способом.

Пусть область (рис. 6.6) ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью , а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть G – проекция области на плоскость , причем всюду в области G функции и непрерывны и .

 

 

Рис.6.6. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

 

Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z (при постоянных x и y), а затем внешний двойной интеграл по области G.

Записывая двойной интеграл через один из повторных (см. п. 6.2), получаем

.

Замечание. Аналогичные формулы для вычисления тройного интеграла можно записать и для случаев проектирования области на плоскости и .

Пример. Вычислить тройной интеграл

,

где область интегрирования – пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями (рис. 6.7).

 

Рис. 6.7. Пример вычисления тройного интеграла в декартовых координатах

Область проектируется на плоскость в треугольник G, ограниченный прямыми . Полагая

и используя сначала формулу для вычисления тройного интеграла, а затем первую формулу для вычисления двойного интеграла, получим: