Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом.
вариант 1.
15.а) Решите уравнение: sin2x = 
·cos( 
- x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ - 3П; - 2П].
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
16. В правильной четырёхугольной призме АВСД 
, стороны основания которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите угол между прямой А 
и плоскостью ВД 
.
17. Решите неравенство: 3 
( 
) ≤ 4+ 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точекx=-9, x=1, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
18. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая , проходящая через точку P , второй раз пересекает первую окружность в точке А , а вторую в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке В, а вторую – в точке С.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.
б) Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
Ответ 2.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
19. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовыхна 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
Решение.
От суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на4), равной (4p) рублей.
Поделим её на 4 части, унесём домой (p) рублей, оставим в банке (3p) рублей.
Известно, что к концу следующего года в банке оказалось
4·1,44 = 5,76 рублей.
Итак, число (3p) превратилось в число (5,76). Во сколько раз оно увеличилось?
Таким образом, найден второй повышающий коэффициент k банка.
Произведение обоих коэффициентов равно 1,92:
Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.
сделаем замену t = 10р:
Итак, p = 1,2, k = 1,6.
В 1,2 раза увеличилась сумма вклада первый раз, в 1,6 раз - во второй раз.
Было 100%, стало 160%. Новый процент годовых равен 160%-100% = 60%.
Ответ: 60%
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ верно построена и исследована математическая модель, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
20. Найдите все положительные значения а , при каждом из которых сиcтема
имеет единственное решение.
21. Набор состоит из 39 натуральных чисел, среди которых есть числа 4, 5 и 7. Среднее арифметическое любых 34 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 16 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 16 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 35.
| Содержание критерия | Баллы |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение в п. а, – пример в п. б, – искомая оценка в п. в, – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
вариант 2
15.а) Решите уравнение: 6· 
x+5 
( 
–x)– 2 = 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5П; - 
].
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
16. В правильной шестиугольной призме ABCDEF 
, все рёбра которой
равны 3, найдите расстояние от точки С до прямой 
.
тогда 
= 
.
Ответ: = .
17. Решите неравенство: 7 
( 
) ≤ 8+ 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точек x=6, x=7, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
18. Медиана А 
С 
треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки 
, 
, 
– середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника 
вдвое меньше площади треугольника АВС.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон шестиугольника, если известно, что АВ = 5,
ВС = 8, АС = 10.
Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника АВС, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна 
Ответ :
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
19.Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем продала их за общую сумму 7 миллионов 680 тысяч рублей, получив при этом 28% прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если при продаже первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже второго – 20%?
Решение:
Пусть фирма приобрела первый пакет акций за x рублей, а второй – за y рублей.
при продаже первого пакета прибыль составила 40%, то есть акции были проданы за 1,4x руб.
при продаже второго – 20%, то есть акции были проданы за 1,2y руб.
Фирма продала их за общую сумму 7 миллионов 680 тысяч рублей, то есть
1,4х+1,2у = 7680000 руб.
получив при этом 28% прибыли, следовательно 1,28(х+у)=7680000 руб.Получили систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе. Получим:
0,12х – 0,08у = 0, отсюда 12х=8у, или у = 
х.
Подставим выражение для у в первое уравнение системы. Получим:
1,4х+1,2 
х) = 7680000
3,2х=7680000
х=2400000
у=3600000