Тема 5. Прогнозирование временных рядов.

Временным ( динамическим ) рядом называется последовательность наблюдений некоторой переменнойyв последующие моменты времени

t=1, 2, …,n.

Обычно модель временного ряда представляется в виде уравнения парной регрессии

t=f(t) , (5.1)

которое показывает, как в среднем меняется y в зависимости от t. Чаще всего временной ряд рассматривается в виде линейного тренда

t= b0 + b1t. (5.2)

Коэффициент bo и b1 могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам:

где n – число наблюдений переменных t и y,

Используя временные ряды, можно осуществлять процедуру прогнозирования, которая представляет собой процесс построения умозаключений о будущем на основании имеющейся модели.

Существует два вида прогнозов: точечный и интервальный. Точечный прогноз представляет собой оценку значения прогнозируемой переменной и находится в результате подстановки в линейный тренд t=b0+b1t времени прогноза t = T. Интервальный прогноз представляет собой интервал, который с некоторой априорной вероятностью, называется достоверностью прогноза, содержит неизвестное значение прогнозируемой переменной.

Пусть T – время прогноза, тогда погрешность прогноза вычисляется по формуле:

ST= , (5.4)

 

где S – погрешность случайных отклонений, – временная средняя величина. При заданной достоверности прогноза по таблице функции Лапласа определяется соответствующий параметр . Истинное значение прогнозируемой переменной с вероятностью располагается в интервале с центром в точечном прогнозе , то есть

 

 

Пример 5.1.

Статистические данные о длине электрофицированных железнодорожных путей ( тыс. км) представлены в таблице в виде временного ряда

 

Год < виде временного ряда

 

Год
yt 3,9 4,0 4,4 4,7 5,1 5,6 6,0 6,3 6,5 6,7 6,9 7,1 7,4 7,8 8,3

 

Определить точечный и интервальный прогноз на длину таких путей на 1989 год, если достоверность прогноза = 0,95.

Решение:

По данным таблицы, используя метод наименьших квадратов, построим линейный тренд = 3,581 + 0,382t. При этом считаем, что 1970 год соответствует t=1, 1971 год – t=2,… 1984 год – t=15, следовательно 1989 год соответствует t=T=20.

Найдем точечный прогноз: = 3,581+0,38220=9,348 тыс.км. Погрешность случайных отклонений определяем по формуле:

,

 

откуда по формуле (5.4) погрешность прогноза

 

=0,203 тыс. км.

 

Согласно таблице функции Лапласа при = 0,95 имеем = 1,96. Таким образом, интервальный прогноз представлен интервалом

(9,348-0,203 = ( 9,745; 10,143).

Следовательно с вероятностью =0,95 можно предположить, что в 1989 году длина электрофицированных железнодорожных путей будет находиться в этом интервале.