Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

ифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.

2. Дифференциал суммы дифференцируемых функцийравен сумме дифференциалов слагаемых:

d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

d(cu) = cdu (с = const).

4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, -- сложная функция, в которой -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций и , то есть дифференциалы величины , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат .

В случае а) дифференциал равен

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных теперь стоят дифференциалы функций . Это свойство называетсяинвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

можно применять, не заботясь о том, являются ли независимыми или же промежуточными переменными.

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

Гладкая функция или непрерывно дифференцируемая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.

[править]Основные сведения

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости имеет непрерывную производную порядка . Множество таких функций, определённых в области обозначается . означает, что для любого , а означает, что — аналитическая.

Например, - множество непрерывных на функций, а - множество непрерывно-дифференцируемых на функций, т.е. функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция принадлежит классу , где — целое неотрицательное число и , если имеет производные до порядка включительно и является гёльдеровской с показателем .

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

Содержание [убрать] · 1 Дифференциал высшего порядка функции одной переменной · 2 Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных · 3 Неинвариантность дифференциалов высшего порядка · 4 Дополнения · 5 Литература

[править]Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.

[править]Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и :

· если — независимая переменная, то

· если и

2. при этом, и

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Содержание [убрать] · 1 Определение · 2 Связанные определения · 3 Свойства o 3.1 Формула Тейлора o 3.2 Различные формы остаточного члена · 4 Ряды Маклорена некоторых функций · 5 Формула Тейлора для функции двух переменных · 6 См. также · 7 Литература

[править]Определение

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

[править]Связанные определения

· В случае, если , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

[править]Свойства

· Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

· Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

[править]Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

· Пусть функция

имеет

производную в некоторой окрестности точки

· Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда:

точка

при

или

при

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

[править]Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки

· И производную в самой точке , тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

[править]Ряды Маклорена некоторых функций

· Экспонента:

· Натуральный логарифм: для всех

· Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где

· Квадратный корень: для всех

· для всех

· Конечный геометрический ряд: для всех

· Тригонометрические функции:

· Синус:

· Косинус:

· Тангенс: для всех где — Числа Бернулли

· Секанс: для всех где — Числа Бернулли

· Арксинус: для всех

· Арктангенс: для всех

· Гиперболические функции:

· для всех

[править]Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор

Тогда разложением в ряд Тейлора функции по степеням и в окрестности точки будет

где — остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

· Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .

Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Примеры.

Полуокружность выпукла на [–1; 1].
Парабола y = x² вогнута на интервале (-∞; +∞).
График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M₀ с абсциссой x₀ Î (a; b) и проведем через точку M₀ касательную. Ее уравнение

. Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении xбудет .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом,

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно, (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому .
Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x₀ и f ''(x) > 0 при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x₀ и f ''(x) < 0 при x > x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.