Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по объясняющим переменным

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

у= а0 + а1 х + а2 х2 + ε

заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + ε

для оценки параметров которого, как будет показано далее, используется МНК.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу

Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив на z, получим линейное уравнение регрессии y = a +bz +ε оценка параметров которого может быть дана МНК.

Она может быть использована не только для характеристики связи удельных расходов сырья,материалов,топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, т.е. на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.

В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель вида

так называемая обратная модель, являющаяся разновидностью гиперболы Но, если в равносторонней гиперболе преобразованию подвергается объясняющая переменная z = 1/x и y = а + bz + ε, то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у, а именно: z =1/y и z = a + bx +ε.

В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно

следовательно полученная методом наименьших квадратов оценка уже не будет эффективной.