Основное уравнение кинетической теории газов для давления

 

Рассмотрим N молекул газа находящихся в состоянии равновесия в сосуде объема V, при этом их концентрация n = N/V. Давле­ние газа определяется суммой нормальных составляющих всех сил, с которыми действуют отдельные молекулы на единичную площадь стенки.

Р и с. 9

Для вычисления этого давления возьмем на стенке сосуда площадку dS и направим ось Z перпендикулярно ей, так что эта площадка будет лежать в плоскости XOY, перпендикулярной плоскости рис.9 . Пусть некоторая молекула падает на площадку dS под углом θ к оси Z . При упругом ударе молекула зеркально (θ1= θ2) отразится от площадки dS, сохраняя величину скорости
υ неизменной (υ1 = υ2 = υ). При этом изменение импульса молекулы

(1.5.1)

где m0 - масса молекулы, - единичные векторы координатных осей.

Из выражения (1.5.1) видно, что вектор изменения импульса молекулы перпендикулярен площадке dS и по второму закону Ньютона равен импульсу силы, действующей со стороны стенки на молекулу, т.е.

(1.5.2)

По третьему закону Ньютона сила , действующая со стороны стенки на молекулу, равна по величине и противоположна
по направлению силе – , с которой молекула действует на
стенку. С учетом этого равенство (1.5.2) примет вид:

(1.5.3)

Чтобы найти число молекул, ударяющихся о площадку dS за время dt под углами от θ до θ + dθ и имеющих скорости от υ до υ + dυ , очевидно, необходимо проинтегрировать соотношение (1.4.3) предыдущего параграфа по всем возможным углам φ (от φ = 0 до φ = 2π), т.е.

(1.5.4)

Эти молекулы сообщают площадке dS за время dt импульс силы

 

(1.5.5)

 

Подставляя из выражений (1.5.3) и (1.5.4) величины и , имеем

(1.5.6)

 

Чтобы учесть все молекулы, ударяющиеся о площадку dS с различными скоростями υ и под различными углами θ, необходимо последнее соотношение проинтегрировать по υ от нуля до υmax и по θ от нуля до π/2, т.е.

(1.5.7)

 

Разделив обе части равенства (1.5.7) на площадь dS, получим выражение для давления, производимого газом на стенку сосуда

(1.5.8)

 

Вводя в правую часть выражения (1.5.8) постоянную величину, равную концентрации n молекул в сосуде, получим

 

(1.5.9)

 

где ρ - плотность газа, а - средний квадрат скорости молекулы газа (см. 4.29 Приложения А). Формуле (1.5.9) можно придать следующий вид:

(1.5.11)

где - кинетическая энергия поступательного движения молекулы, среднее значение которой

(1.5.12)

Функция распределения по кинетическим энергиям связана с функцией по скоростям молекул соотношением (см. ( ) Приложения А)

(1.5.13)

Таким образом, давление (1.5.11), создаваемое молекулами газа, равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул, имеющихся в единичном объеме.

Как видно из выражений (1.5.9) и (1.5.11), давление P зависит от вида функции распределения (или )

Нахождение функций распределения равновесных (и неравновесных) состояний системы частиц является основной задачей статистической физики. Явный вид функции для равновесного состояния газа будет найден в дальнейшем.