Интерполяция

Аппроксимирующей функцией является полином Лагранжа. В качестве координат сигнала обычно предпочитают его отсчеты . Для построения интерполяционного полинома n-ой степени нужно иметь отсчет, т.е. . Моменты времени , k=0,1,...,n называют узлами интерполяции.

Общая картина интерполяции полиномом n-й степени представлена на рис.2.75).

Рис.2.75

Здесь – i-й участок интерполяции; – i-й интервал между координатами сигнала; – узлы интерполяции; – текущая погрешность интерполяции(аппроксимации) на i-м участке.

В общем случае интервал между отсчетами сигнала (узлами) . Если интервал , то на участке аппроксимации узлы интерполяции равноотстоящие. Для равноотстоящих узлов .

Задача интерполяции формулируется таким образом. Пусть задан отсчет в узлах , k=0,1,...,n. Требуется найти аппроксимирующий полином , проходящий через все отсчеты в узлах интерполяции.

Решением данной задачи является интерполяционный полином Лагранжа. Возможны две формы записи полинома Лагранжа. Они отличаются видом координат сигнала.

1) Первая форма. Здесь координаты – это коэффициенты разложения функции в ряд по базису .

В этом случае полином Лагранжа имеет вид

,

где коэффициенты определяются решением системы уравнений

система уравнений.

2) Вторая форма. Здесь координаты – это отсчет сигнала. Данная форма наиболее удобна и широко распространена в измерительной технике.

В этом случаеполином Лагранжа имеет вид

.

Очевидно, при имеем , т. е. полином Лагранжа совпадает с функцией в узлах интерполяции.

Исходя из остаточного члена полинома,максимальнаяпогрешность интерполяции при равномерном критерии приближения

,

где – оценка сверху остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа,

.

Для равноотстоящих узлов

,

где ; .