Интерполяция
Аппроксимирующей функцией является полином Лагранжа. В качестве координат сигнала обычно предпочитают его отсчеты . Для построения интерполяционного полинома n-ой степени нужно иметь
отсчет, т.е.
. Моменты времени
, k=0,1,...,n называют узлами интерполяции.
Общая картина интерполяции полиномом n-й степени представлена на рис.2.75).
Рис.2.75
Здесь – i-й участок интерполяции;
– i-й интервал между координатами сигнала;
– узлы интерполяции;
– текущая погрешность интерполяции(аппроксимации) на i-м участке.
В общем случае интервал между отсчетами сигнала (узлами) . Если интервал
, то на участке аппроксимации узлы интерполяции равноотстоящие. Для равноотстоящих узлов
.
Задача интерполяции формулируется таким образом. Пусть задан отсчет
в узлах
, k=0,1,...,n. Требуется найти аппроксимирующий полином
, проходящий через все отсчеты в узлах интерполяции.
Решением данной задачи является интерполяционный полином Лагранжа. Возможны две формы записи полинома Лагранжа. Они отличаются видом координат сигнала.
1) Первая форма. Здесь координаты – это коэффициенты разложения функции
в ряд по базису
.
В этом случае полином Лагранжа имеет вид
,
где коэффициенты определяются решением системы
уравнений
система уравнений.
2) Вторая форма. Здесь координаты – это отсчет сигнала. Данная форма наиболее удобна и широко распространена в измерительной технике.
В этом случаеполином Лагранжа имеет вид
.
Очевидно, при имеем
, т. е. полином Лагранжа совпадает с функцией
в узлах интерполяции.
Исходя из остаточного члена полинома,максимальнаяпогрешность интерполяции при равномерном критерии приближения
,
где – оценка сверху остаточного члена
интерполяционного полинома Лагранжа,
.
Для равноотстоящих узлов
,
где ;
.