Гауссовские случайные процессы. Центральная предельная теорема (закон больших чисел).

Предельная теорема Муавра – Лапласа является одной из теорем теории вероятности. К их числу относится также неравенство Чебышева и центральная предельная теорема.

Если случайные величины абсолютно независимы друг от друга и , то функция распределения для имеет следующую величину:

(1)

Впервые распределение Гаусса (1) появляется в предельной теореме Муавра – Лапласа, которая дает выражение для вероятности благоприятных испытаний в схеме Бернулли при , p=const

(2)

где (3)

Локальная теорема Муавра – Лапласа.

(2а)

Функция, входящая в (2а) называется нормальным или Гауссовским законом распределения. С помощью ее можно подсчитать вероятность того, что .

(4)

(5)

Вероятность (4) путем замены переменных в интеграле превращается в следующее выражение:

(6)

где

(7)

Функция Ф(z) называется интегральной функцией распределения для распределения Гаусса или по другому для нормального закона распределения.

Само Гауссово распределение:

(8)

но нормированное по

Формулы (7) и (8) показывают, что любое решение может быть приведено к стандартному решению в частности.

, то г.с.в.

Моменты гауссовой случайной величины (г.с.в.), со средним значением равным 0, следующие:

Гауссово распределение бывает не только для одномерной случайной величины но и для нескольких но и для многомерных случайных величин.

Набор случайных величин называется независимым, если

в этом случае функция распределения имеет вид:

Наряду со статистической независимостью имеется и более слабое условие некоррелированности двух величин: для двух величит вводят коэффициент корреляции:

(10)

Очевидно, что из статистической независимости следует некоррелированность. Обратное не справедливо, т.е. некоррелированные величины, т.е. для которых , могут быть и стахостически зависимыми.

+1 – полная корреляция