Больцман таралуы

формуласындағы экспонента көрсеткішінің алымындағы массасы m₀молекуланың hбиіктіктегі потенциалдық энергиясы екендігі механика курсынан белгілі. Молекула-кинетикалық теорияның негізгі теңдеуінен( ), яғни және пропорционалдықтары орындалады. Сондай-ақ, концентрацияның көлем бірлігіндегі молекулалар саны екенін ескерсек, онда барометрлік формуланы мына түрде жаза аламыз:

(10.1)

Бұл өрнек энергиясы нөлге тең бөлшектердің саны , ал энергиясы бөлшектер саны болатынын көрсетеді. Егер молекулаларға ауырлық күші емес басқа күш өрісінде болса және бөлшектер сол өрісте потенциалдық энергияға ие болса,онда берілген энергияға ие болатын бөлшектер санын былай анықтай аламыз:

.(10.2)

Осы формуланы газ молекулаларының күш өрісінде таралуының формуласы немесе Больцман таралуы деп атайды. Бұл формула жылулық тепе-теңдік жағдайында энергиясы болатын бөлшектердің үлесін анықтауға мүмкіндік береді:

(10.3)

Бақылау сұрақтары:

1. Больцман таралуы нені анықтайды?

2. Больцман таралуына мысалдар келтіріңіз.

§11. Ықтималдықтар теориясынан қысқаша түсінік

1. Молекулалық көзқарастан термодинамикадағы барлық физикалық шамалардың орташа мәндерінің мағынасы орындалады. Мұндай шамаларды статистикалық деп атайды. Математикалық көзқарастан статистикалық заңдылықтарды ықтималдықтар теориясы зерттейді.

2.Қазіргі заманғы ықтималдықтың математикалық теориясы абстрактты аксиомалық ғылым ретінде құрылған. Ықтималдық деп бірнеше аксиомалар жүйесіне бағынатын сандарды айтамыз. Абстракциялық теорияда ықтималдықтың нақты мағынасына көңіл бөлінбейді. Ал физикада ықтималдықты нақты процеспен және физикалық шамалармен байланыстырады.

3.Оқиға, сынақ, айқын, кездейсоқ және мүмкін емес оқиғалар.Ықтималдықтар теориясында оқиға немесе жағдай деп орындалуы немесе орындалмауы туралы айтуға болатын барлық құбылыстарды айтамыз. Ықтималдықтар теориясында қандай да бір оқиғаның орындалуын немесе орындалмауын бақылау үшін қойылған тәжірибе сынақ деп аталады.

Егер берілген жағдайда оқиға міндетті түрде орындалатын болса, онда ондай оқиғаны айқын оқиға деп атаймыз, ал оқиға міндетті түрде орындалмайтын болса – мүмкін емес оқиға деп атаймыз.

Егер сынақ кезінде оқиға орындалуы да, орындалмауы да мүмкін болса, ондай оқиға кездейсоқ оқиға деп аталады. Мысалы, монетаны лақтырғанда екі жағы да түсуі мүмкін. Демек бұл кездейсоқ оқиға.

4.Сәйкес емес және тең ықтималдықты оқиғалар. А және В оқиғаларының қосындысы А немесе В оқиғасының пайда болуынан тұратын оқиға болып табылады. Мысалы, жәшікте қызыл, жасыл және ақ шарлар болса, онда жәшіктен шар алғанда оның түрлі-түсті болуы (қызыл немесе жасыл) мына оқиғалардың қосындысы: 1) қызыл шардың пайда болуы; 2) жасыл шардың пайда болуы. А және В оқиғаларының қосындысы А+В болады.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі А және В оқиғаларының бірдей орындалу оқиғасы болып табылады. Мысалы, монета екі рет лақтырылғанда бірінші аверс жағынан одан кейін екінші реверс жағының түсуі екі оқиғаның көбейтіндісі: 1)1-лақтырғанда аверс түсуі; 2)2-лақтырғанда – реверс. А және В оқиғасының көбейтіндісі А·В деп белгіленеді.

оқиғаларының бірі сынақ кезінде міндетті түрде орындалса, онда бұл оқиғалар дара мүмкін оқиғалар деп аталады. Осы барлық дара мүмкін оқиғалардың қосындысы айқын оқиға болып табылады.

Егер оқиғаларының бірі орындалғанда, басқалары орындалмайтын болса, онда ондай оқиғалар сәйкес емес оқиғалар деп аталады. Барлық сәйкес емес оқиғалардың көбейтіндісі мүмкін емес оқиға болады.

Егер сынақ кезінде екі кездейсоқ оқиғаның бірінің көбірек орындалуын күтуге ешқандай негіз жоқ болса, онда бұл оқиғалар тең мүмкіндікті немесе тең ықтималдықты оқиғалар деп аталады. Мысалы, монетаны лақтырғанда аверс немесе реверс жағының түсуітең ықтималды.

5.Ықтималдықтың анықтамасы.Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы оның пайда болуының күтілетін мүмкіндігінің сандық өлшемі. Бұл өлшемді енгізу үшін біз дара мүмкін, сәйкес емес, тең мүмкіндікті n-оқиғаны қарастырайық. Әр оқиғаның ықтималдығы деп бөлшегін айтамыз. Егер жәшікте бірдей нөмірленген 100 шар болса, онда нөмірі 1-ші шарды алу ықтималдығы болады.

Енді осы оқиғалары дара мүмкін, сәйкес емес және тең мүмкіндікті емес оқиғалар болсын.Осы оқиғаларды тең мүмкіндікті оқиғалардың қосындысы түрінде көрсетугеболатын жағдайды қарастырайық. Мысалы, оқиғасы дара мүмкін, сәйкес емес, тең мүмкіндікті оқиғалар қатарына жайылсын: оқиғалары дара мүмкін, сәйкес емес және тең мүмкіндікті болады. оқиғасының ықтималдығы

(11.1)

оқиғасы орын алатын оқиғалар , үшін қолайлы жағдайдеп аталады.

return false">ссылка скрыта

Онда ықтималдықтың анықтамасын былай тұжырымдауға болады. Ықтималдықдеп бірдей мүмкін оқиғалар санының сынақ кезінде кездесуі мүмкін барлық мүмкін оқиғалар санына қатынасын айтамыз.

Айқын және мүмкін емес оқиғаларды кездейсоқ оқиғалардың шекті жағдайлары деп қарастыруға болады. Айқын оқиғалардың ықтималдығы 1-ге тең, ал мүмкін емес оқиғалардың ықтималдығы 0-ге тең.

6. Болжам ықтималдық.Ықтималдықтың анықтамасы бойынша сынаққа дейін оқиғалардың тең мүмкіндікті екендігі туралы айтуға негіз бар (симметриялығы, біртектілігі). Сондай-ақ сынаққа дейін оқиғаларды тең мүмкіндікті оқиғалардың суммасы түрінде қарастыруға болады. Сондықтан осылай анықталған ықтималдықты болжам ықтималдық, демек сынаққа дейін ақ анықталған ықтималдық деп атаймыз.

7.Ықтималдықтарды қосу теоремасы.Егер тек қана ықтималдықтың анықтамасын қолданған болсақ, онда әрбір нақты жағдайда оқиғаларды тең мүмкіндікті оқиғаларға жіктеп отыру керек болады. Мұндай қажеттіліктерді ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары қанағаттандырады. Демек, әр нақты жағдай үшін тең мүмкіндікті оқиғаларды жіктеп отырудың қажеті жоқ.

Сәйкес емес оқиғалардың қосындысының ықтитмалдығы, сол оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең. Ықтималдықтың анықтамасын енгізгендегідей дара мүмкін және сәйкес емес оқиғаларды тең мүмкіндікті оқиғаларға жіктейік. В оқиғасы және оқиғаларының қосындысы болсын, демек немесе оқиғасының орындалуынан тұрсын. және оқиғалары сәйкес емес болғандықтан В оқиғасына қолайлы тең мүмкіндікті жағдайлардың саны және оқиғаларына қолайлы тең мүмкіндікті жағдайлар суммасына, демек - ге тең. В оқиғасының ықтималдығы:

Сонымен, және оқиғалары сәйкес емес болса, онда

(11.2)

Мысалы, жәшік ішінде 25 қызыл шар, 45 жасыл шар және 30 ақ шар болсын. Онда жәшіктен қызыл шар шығуының ықтималдығы 25/100, ал жасыл шар шығуының ықтитмалдығы 45/100 болады. жәшіктен түсті шар шығуының ықтималдығы

Барлық дербес мүмкін және сәйкес емес оқиғалардың ықтималдығы 1-тең:

(11.3)

(3) өрнек көбіне ықтималдықтың нормирлену шарты деп аталады.

Егер дербес мүмкін сәйкес емес оқиғалар саны екеу болса, онда оқиғалар қарама қарсы деп аталады. Демек, әрбір оқиғаға қарама қарсы оқиға болады. Оның бірі орындалғанда екіншісі орындалмайды.

8. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы.А және В оқиғаларының көбейтіндісі олардың бірінің ықтималдығы Р(А), 1-ші оқиға орындалған сияқты есептелген екіншісінің ықтималдығына көбейтіндісіне тең.

А оқиғасы орындалды деп есептеп анықталған В оқиғасының ықтималдығын В оқиғасының шартты ықтималдығыдеп атайды. Р(В/А). Сонымен,

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А) (11.4)

Осыны дәлелдеу үшін бізге сәйкес емес және тең мүмкіндікті n оқиға берілсін

Осылардың ішінде алғашқы m оқиға А оқиғасына қолайлы болсын. Осылардың ішіндегі m жағдайда

алғашқы жағдай В жағдайына қолайлы болсын, ал қалғандары В оқиғасына қолайлы емес. Демек, А және В оқиғаларына қолайлы жағдайлар саны , сондықтан , . А оқиғасы орындалғандықтан қалған оқиғалары мүмкін емес, ал қалған жағдайлары тең мүмкіндікті болып қалады. Сондықтан . Сонымен

(11.5)

Статистикалық тәуелсіз А және В оқиғаларының көбейтіндісінің ықтималдығы олардың әрқайсысының ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:

9.Орташа мән және математикалық күтілу.Қандай да бір «а» шамасы бірдей жағдайда N рет өлшенсін. ретөлшегендегі мәні , рет өлшегенде – , ..., ретөлшегенде– болсын. Сондықтан . Олай болса, өлшенген шаманың орташа мәні былай анықталады:

(11.6)

Мұндағы , , …, сәйкес оқиғалардың орындалу жиілігі болып табылады. Өлшеулер кезінде осы нәтижелерден басқа нәтижелер болмасын, демек, бұл мәндердің әрқайсысы дара мүмкін, сәйкес емес болсын. Онда өлшеулер саны N көбейгенде оқиғалардың жиіліктері өздерінің шекті мәндері ықтималдықтарына яғни оқиғаларының пайда болу ықтималдықтарына айналады. (1) - өрнек бұл кезде былай өзгереді:

(11.7)

Осы сумманың мәні М(а)ашамасының математикалық күтілуідеп аталады.

Бақылау сұрақтары:

1. Ықтималдықтар теориясында оқиға дегеніміз не?

2. Сынақ дегеніміз не?

3. Қандай оқиғаны айқын оқиға деп атаймыз?

4. Қандай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атаймыз? Мысалдар келтіріңіз.

5. Қандай оқиғалар сәйкес емес оқиғалар деп аталады?

6. Ықтималдықтың анықтамасын тұжырымдаңыз.

7. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларын тұжырымдаңыз.

8. Ықтималдықтың нормирлену шартын түсіндіріңіз.

9. Математикалық күтілу дегеніміз не?

§12. Кездейсоқ шаманың орташа мәні. Ықтималдықтардың таралу функциясы

1. Дискретті кездейсоқ шаманың орташа мәні.Егер қандайда бір кездейсоқ Х шамасы мәндерін қабылдайтын болса, онда осы шаманың орташа мәні былай анықталады:

шамаларының арасында бірдей мәнге ие болатын шамалар болуы мүмкін, сондықтан (12.1) формуланың оң жағындағы сумма тек қана әртүрлі мәнді шамалары енетіндей қайта топтастыру керек:

мұндағы , ал -(12.1) өрнектегі бірдей мәнге ие бірдей мүшелердің саны. – Х шамасының мәнге ие болу ықтималдығы болса, онда орташа мән үшін жазылған (12.2) формуланы мына түрде жазуға болады:

Осы формула (11.7-формуланы қара) кездейсоқ шаманың математикалық күтілуін ықтималдықты ескеріп анықтайды.

2.Үздіксіз өзгеретін шаманың орташа мәні.Үздіксіз өзгеретін шаманың орташа мәні (12.1) формулаға ұқсас формуламен анықталады. – шамасына тәуелді функция болсын. Онда бұл функцияның мен аралығындағы орташа мәні былай анықталады:

мұнда бұрышты жақша сыртындағы индексі қандай шамаға қатысты функциясының орташа мәні анықталатынын көрсетеді. орташа мәнінің геометриялық түсініктемесі суретте көрсетілген. Функцияның орташа мәні қандай айнымалыға қатысты анықталатындығына тәуелді.

(12.3) өрнекті үздіксіз өзгеретін кездейсоқ шама үшін былай жазуға болады:

мұндағы – шамасының таралуының ықтималдығының тығыздығы.

3. Дисперсия. Өзгеретін шаманың орташа мәннен ауытқуларын дисперсия сипаттайды. Дисперсия – қарастырылатын шаманың орташа мәннен ауытқуының квадраты ретінде анықталады:

Дисперсияның квадраттық түбірі стандартты немесе орташа квадрат ауытқу деп аталады.

(12.3) және (12.4) формулаларды ескеріп дискретті және үздіксіз өзгеретін кездейсоқ шамалар үшін дисперсияны анықтауға болады. Дискретті кездейсоқ шамалар үшін:

Үздіксіз өзгеретін кездейсоқ шамалар үшін:

4. Ықтималдықтардың таралу функциясы. Кездейсоқ шамасының мәні берілген мәннен аз болуының ықтималдығы, демек , былай анықталады:

мұндағы функциясы ықтималдықтардың таралу функциясы деп аталады.

Үздіксіз өзгеретін шама үшінықтималдықтардың таралу функциясы -ықтималдықтың тығыздығы арқылы былай анықталады:

Осы (12.9) өрнектен - функциясы үшін мынадай өрнек аламыз:

Формуланы пайдаланып енетін өрнектерді қайта жазуға болады. Мысалы,

Бақылау сұрақтары:

1. Ықтималдықтар теориясында оқиға дегеніміз не?

2. Сынақ дегеніміз не?

3. Қандай оқиғаны айқын оқиға деп атаймыз?

4. Қандай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атаймыз? Мысалдар келтіріңіз.

5. Қандай оқиғалар сәйкес емес оқиғалар деп аталады?

§13. Жүйенің макроскопиялық және микроскопиялық күйлері

1. Жүйе ұғымы.Құрамында зерттеу нысандары бар кеңістіктің шекті аймағын жүйе деп атаймыз. Жүйенің шекарасы материалдық болуы (ыдыстың қабырғасы) немесе кеңістікте ойша алынуы мүмкін және қозғалмайтын немесе қозғалатын болуы мүмкін. Шекара арқылы зат және энергия тасымалдануы немесе тасымалданбауы мүмкін. Кейде шекара арқылы энергияның кейбір түрі тасымалдануы мүмкін болады. Жүйе тек шекараның ерекшеліктерімен ғана емес, сонымен қатар оның ішіндегі заттың физикалық және химиялық қасиеттерімен де сипатталады. Жүйенің түрі қарастырылатын құбылысқа және қойылған мәселенің шарттарына байланысты таңдалады. Идеал газ да осындай жүйе болып табылады.

2. Макроскопиялық күй. көлемде идеал газ болсын. Газ бөлшектерінің ыдыс қабырғаларымен соқтығысулары абсолют серпімді, ал ыдыстың массасы өте көп болсын, сонда бөлшектердің ыдыс қабырғасымен соқтығысулары нәтижесінде олардың қозғалыстарының күйі өзгермейді. Осындай жағдайда көлемдегі газ ыдыс сыртындағы материалдық денелермен энергия алмаспайды, демек, оқшауланған болады. Осы шарттар орындалса ыдыс ішіндегі газ сыртқы әсерлерден оқшауланған болады және газ ішінде не болса да ішкі себептер нәтижесінде орын алады. Ыдыс ішіндегі газға жеткілікті уақыт аралығында ешқандай сыртқы әсерлер болмаса, онда газдың күйі стационар болып уақыт бойынша өзгермейді. Демек, осы «жеткілікті уақыт аралығында» жүйенің құрамдас бөліктерінде газдың бастапқы қысымдары, температуралары қандай мәндерге ие болса да теңесіп, газ уақыт бойынша өзгермейтін стационар күйге келеді. Сонымен, «жеткілікті уақыт аралығы»жүйенің барлық құрамдас бөліктеріндегі температуралар мен қысымдардың теңесу уақыты. Бұл уақытты қарастырылатын газдағы тасымалдау құбылыстарын зерттеу арқылы бағалауға болады. Мысал ретінде қысымның теңесу уақыты сол ортадағы дыбыс жылдамдығымен анықталатынын айта кетуге болады. Егер ыдыстың сызықтық өлшемі болса, онда бұл уақыт аралығы қатынасымен анықталады. Ауа үшін дыбыс жылдамдығы екенін ескерсек, онда ыдыс өлшемі болғанда жеткілікті уақыт аралығы шамамен секунд болады. Әрине, бұл уақыт макроскопиялық көзқарастан өте аз сияқты, бірақ микроскопиялық көзқарастан өте ұзақ уақыт. Мысалы, ауа молекулалары қалыпты жағдайда 1 секунд ішінде басқа молекулалармен 10⁹ соқтығысулар жасайды. Қысым, температура және көлеммен сипатталатын газ күйін газдың макроскопиялық күйі деп атаймыз.

3. Тепе-тең күй. Сыртқы ортадан оқшауланған көлемдегі газдың стационар макроскопиялық күйі тепе-тең күй болып табылады. Бұл кезде газдың макроскопиялық сипаттамалары болып табылатын қысымы, температурасы және көлемі уақыт бойынша өздерінің тұрақты мәндерін сақтап қалады. Қысым мен температура көлемнің барлық құрамдас бөліктерінде бірдей мәнге ие болуы керек. Жүйенің күйінің тепе-тең екендігін анықтағанда оның оқшауланған болуының маңызы зор. Егер жүйе оқшауланбаған болса, онда жүйе тепе-тең емес стационар күйде болады. Мысалы, газы бар ыдыстың әртүрлі бөліктері сыртқы жылу көздерінен әртүрлі тұрақты температураларда қыздырылып тұрса, онда жүйеде стационар күй орнауы мүмкін. Бірақ мұндай стационар күй тепе-тең күй болмайды. Себебі, ыдыстың бөліктеріндегі қысымдар бірдей болғанымен, температуралары әртүрлі.

4. Микроскопиялық күй.Газдың күйін толық сипаттау үшін оның барлық бөлшектерінің кеңістіктегі орындары мен жылдамдықтарын білу керек. Газ бөлшектерін i=1,2,…,Nиндекстерімен белгілейік, демек қарастырылатын көлемде Nбөлшек болсын. Егер ыдыс көлемі болса, онда қалыпты жағдайдабөлшектер саны болады. Барлық бөлшектерінің кеңістіктегі орындарымен және жылдамдықтарымен сипатталатын газ күйі микроскопиялық деп аталады. Газдың микроскопиялық күйі 6Nсанымен сипатталады,демек, 3N барлық бөлшектердің координаттарымен және олардың 3Nжылдамдықтарының компонентерімен. Бұл шамалар кездейсоқ шамалар болып табылады.

Жүйенің макроскопиялық күйі үш шамамен – қысым, температура және көлеммен сипатталады. Бұл параметрлер жүйенің стационар күйінде тұрақты болады. Алайда газ бөлшектері стационар күйде де үнемі қозғалыста болғандықтан, оның микроскопиялық күйі үздіксіз өзгеріп отырады. Осылай жүйенің бір макроскопиялық күйіне көптеген микроскопиялық күйлер сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, берілген бір макроскопиялық күй көптеген микроскопиялық күйлер арқылы жүзеге асырылады. Статистикалық физиканың негізгі мәселесі жүйенің микроскопиялық күйлерімен макроскопиялық күйлерінің арасындағы байланысты зерттеу болып табылады.

5. Жүйелердің статистикалық ансамблі. Жүйелер ансамблі әдісін статистикалық физика сұрақтарын талдағанда қолдану өте ыңғайлы. Көлемдері бірдей болатын Nыдыстар берілсін. Ыдыстардың әрқайсысының ішінде бірдей n бөлшектер болсын. Ішінде зат (газ) бөлшектері бар ыдыс статистикалық жүйе деп аталады. Осындай бірдей статистикалық жүйелер жиынтығы статистикалық ансамбль деп аталады.

Бізді бөлшектердің қалай қозғалатындығы, бастапқы уақыт мезетіндегі олардың сәйкес ыдыстардың қай бөлігінде орналасатындығы қызықтырмайды. Мәселе жеткілікті уақыт аралығынан соң ансамблдің жеке жүйелеріндегі микро және макрокүйлерді зерттеу болып табылады. Сонымен бірдей макроскопиялық күй ансамблдің әртүрлі микрокүйлердегі көптеген жүйелерінде іске асады.

6. Микроканондық ансамбль.Микроканондық ансамбль энергиялары тең оқшауланған бірдей жүйелерден тұрады. Ансамблдер әдісін 1902 жылы американдық физик Гиббс енгізген.

Бақылау сұрақтары:

1. Ықтималдықтар теориясында оқиға дегеніміз не?

2. Сынақ дегеніміз не?

3. Қандай оқиғаны айқын оқиға деп атаймыз?

4. Қандай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атаймыз? Мысалдар келтіріңіз.

5. Қандай оқиғалар сәйкес емес оқиғалар деп аталады?

§14. Макрокүйдің ықтималдығы

1. Макрокүйдің ықтималдығы. Макрокүй көптеген микрокүйлер арқылы жүзеге асады. Егер қарастырылатын макрокүйді сипаттайтын қасиеттер белгілі болса, онда осы қасиеттерді қанағаттандыратын барлық микрокүйлерді санап шығуға болады. Микрокүйлер санын деп белгілейік, мұндағы -макрокүйді сипаттайды, ал жүйенің барлық мүмкін күйлер санын деп белгілейік. Микрокүйлердің тең ықтималдылық постулатына және ықтималдық анықтамасына сәйкес қарастырылатын макрокүйдің ықтималдығы былай анықталады:

(14.1)

Микрокүйлер саны макрокүйдің термодинамикалық ықтималдылығы деп аталады. Бұл сан математикалық түсініктегі ықтималдылық емес, саны өте үлкен мәндерге ие. Солай бола тұра бұл сан термодинамикалық ықтималдылық деп аталады, себебі (14.1) формуласымен сәйкес макрокүйдің ықтималдығы анықталады. (14.1) формуласындағы күйлер санын анықтау теориялық мәселе болып табылады. Әрине, күйлер санын тікелей анықтау барлық уақытта мүмкін бола бермейді. Сондықтан көптеген жағдайларда күйлер санын оларды санамай-ақ анықтау немесе күйлер санын білмей-ақ ықтималдығын анықтау негізгі теориялық мәселе болып табылады. Егер газ идеал болса, онда кеңістіктік айнымалылар бойынша микрокүйлердің санын тікелей санауға болады. Бөлшектердің координаталар (кеңістіктік ұяшықтар) және импульстері (импульстік ұяшықтар) бойынша таралуларын бір біріне тәуелсіз деп қарастыруға болады. Сондықтан жүйенің микрокүйлерінің толық санын кеңістіктік микрокүйлер мен импульстік микрокүйлер сандарының көбейтіндісіне тең деп алуға болады.

Қандай да бір макроскопиялық кеңістіктік таралудың ықтималдығын анықтағанда және микрокүйлер санын есептегенде импульстік күйлер саны бірдей болады. Сондықтан импульстік күйлер саны (14.1) формуланың алымына және бөліміне көбейтіледі де қысқарып кетеді. Жүйенің кеңістіктік макрокүйінің ықтималдығын есептегенде және сандарын кеңістіктік микрокүйлердің сандары ретінде алуға болады.

2. Макрокүйдің ықтималдығын есептеу. Идеал газ алып тұрған көлемді , осы көлемдегі бөлшектер санын деп белгілейік. Бөлшектер орналасуы мүмкін ұяшықтар саны , мұндағы . Ұяшықтар саны өте көп және шарты үнемі орындалады. көлемнің бір бөлігі болатын қандай да бір нақты көлемде бөлшектердің саны болатын жүйенің макроскопиялық күйінің ықтималдығын анықтайық (10-сурет). Есептің шарты бойынша және . Сондай-ақ көлемі аз болмауы керек, оның ішінде кем дегенде бөлшектер саны орналасатындай ұяшықтар болуы керек. көлемдегі ұяшықтар саны , сондықтан болады. Жүйенің толық микрокүйлерінің саны бөлшектерді ұяшықтарға орналастыру әдістерінің санына тең. Сонымен, жүйедегі микрокүйлердің толық саны былай анықталады:

10-сурет

(14.2)

Енді көлемде бөлшектер санының орналасуы макрокүйіне сәйкес микрокүйлердің санын анықтайық. Мұндай микрокүйлер санын g -деп белгілейік. Сонымен,

(14.3)

Көлемнің қалған бөлігінде басқа бөлшектер бар. Осы қалған бөлшектер үшін мүмкін болатын микрокүйлер саны былай анықталады:

(14.4)

Сонымен, көлемдегі бөлшектер үшін қарастырылып отырған макрокүй орындалатын микрокүйлер саны көбейтіндісіне тең болады. Алайда бұл көбейтінді макрокүй орындалатын барлық микрокүйлер санын бермейді. Бұл тек бөлшектердің көлемдегі нақты жиынтығына сәйкес келетін микрокүйлер санын береді. бөлшектерді барлық бөлшектерден әдіспен таңдап алуға болады. Сондықтан макрокүй орындалатын микрокүйлердің толық саны былай анықталады:

(14.5)

(14.1)және (14.5) формулалардың негізінде макрокүйдің ықтималдығын былай анықтауға болады:

(14.6)

Сонымен макрокүйдің ықтималдығын анықтайтын формуланы шығардық. Бірақ, бұл формуланың құрамына енетін сандар өте үлкен. Егер газ қалыпты жағдайда тұр десек, онда болғанда , болар еді. Сондықтан көлемі көлемнің азырақ бөлігі болса да ондағы ұяшықтар саны өте көп, демек деп ескеруге болады. Бұл жағдайда (14.6) формуласы ықшамдалады.

3. Стирлинг формуласы. саны үлкен мәнге ие болғанда мына теңдік орындалады:

(14.7)

(14.7) формуласы Стирлинг формуласы деп аталады. Бұл формуланы дәлелдеу үшін мына теңдікті қарастырамыз:

санынымен салыстырғанда өте аз болғандықтан (14.8) өрнектегі сумманы интеграл түрінде жазамыз:

бұл өрнектің оң жағындағы бір саны санынан өте аз болғандықтан ескерілмеді. (14.9) өрнекті потенцирлесек (14.7) формуласын аламыз.

4. Макрокүйдің ықтималдығының формуласы. (14.6) өрнектегі барлық факториалдарды (14.7) формуладағыдай дәрежелер арқылы өрнектеу керек. Стирлинг формуласын қолданғанда , және екендігін ескеру керек. Мысалы,

мұндағы

Осылай басқа факториалдар да есептеледі. Осының нәтижесінде (14.9) формула мынадай түрге келеді:

(14.10)

11-сурет. Биномдық таралу

Бұл формуланың мағынасы мынада:

- бөлшектің

көлемде болуының ықтималдығы;

– бөлшектің көлемнің басқа

бөлігінде болуының ықтималдығы. Осыларды ескеріп (14.10) формуланы

және

ықтималдықтары арқылы мына түрге келтіруге болады:

(14.11)

Бұл таралу биномдық таралу болып табылады (11-сурет). (14.11) таралуы көлемін таңдауға тәуелді емес. болғандықтан (14.11) таралуын мына түрде жазуға болады:

(14.12)

Біз қарастырып отырған мысалды жалпы түрде қарастырайық. деп тәуелсіз оқиғаларды алайық, онда олардың ықтималдықтары болады және олар үшін нормирлену шарты орындалады. рет сынақ өткізгенде орындалатын оқиғалардың нақты тізбегі болуының ықтималдықтары болады. Осы орындалған оқиғалар тізбегінде оқиғасы рет, – рет, ал – рет, т.с.с. орындалуының ықтималдығы былай анықталады:

(14.13)

(14.12)биномдық таралуы (14.13) формуланың дербес жағдайы болып табылады.

5. Биномдық таралудың шекті түрлері, Пуассон таралуы. Егер сынақтар саны шексіздікке ұмтылса ( ), онда (14.12) биномдық таралуы шексіздікке ұмтылу шартына байланысты бір шекті түрлерге айналады. Біз екі ерекше шекті жағдайларды қарастырамыз: 1) егер жағдайында болса, онда біз қалыпты таралуды аламыз; 2) жағдайында болса, онда Пуассон таралуын аламыз.

– деп көлемдегі бөлшектердің орташа санын алайық. барлық көлемдегі бөлшектердің орташа концентрациясы болғандықтан немесе болады. Осы қатынастарды (14.12) формулаға қойсақ, онда мынадай өрнек аламыз:

Осы өрнектің оң жағын ықшамдайық:

Осыдан шартын қанағаттандырсақ биномдық таралуға сәйкес келетін өрнекті аламыз:

Бұл жерде кеңінен белгілі шегі қолданылды. Осы (14.4) өрнегі Пуассон таралуы болып табылады.

Бақылау сұрақтары:

1. Ықтималдықтар теориясында оқиға дегеніміз не?

2. Сынақ дегеніміз не?

3. Қандай оқиғаны айқын оқиға деп атаймыз?

4. Қандай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атаймыз? Мысалдар келтіріңіз.

5. Қандай оқиғалар сәйкес емес оқиғалар деп аталады?

§15. Канондық ансамбль. Гиббс таралуы

1. Жылдамдықтық және энергиялық микрокүйлер.Біз негізінен бөлшектердің жылдамдық бойынша микрокүйлерін талдауды қажет етпейтін микроканондық ансамблдерді қарастырдық. Себебі, тепе-теңдік күйде бөлшектердің жылдамдық бойынша микрокүйлер саны бірдей болды және толық энергияның тұрақты болу шартын қанағаттандыратын микрокүйлер саны максимал болды.Микрканондық ансамблдердің қасиеттерін анықтауға эргодикалық гипотеза мен теңықтималдылық принциптері негіз болды.

Енді бөлшектердің микрокүйлерінің жылдамдықтар бойынша таралуын қарастырамыз. Қандай да бір бөлшекті таңдап оның жылдамдығын әртүрлі уақыт мезеттерінде ансамблдегі бір жүйеде, сондай-ақ ансамблдің әртүрлі жүйелерінде бір уақыт мезетінде қарастырамыз. Бөлшектердің жылдамдықтарын білу олардың кинетикалық энергиясы туралы толық мағлұмат береді. Бөлшектің жылдамдығы мен кинетикалық энергиясы басқа бөлшектермен соқтығысқанда өзгереді. Сонымен бөлшек ансамблдің әртүрлі жүйелерінде жылдамдық және энергиясы бойынша әртүрлі күйлерде болады. Егер жүйелердің біріндегі бөлшекті бақылайтын болсақ, онда уақыт өтуіне байланысты оның жылдамдық пен энергия бойынша күйі өзгеріп отырады. Жылдамдық пен энергия бойынша микрокүйлерді анықтау негізгі мәселе болып табылады.

2. Канондық ансамбль анықтамасы.Қарастырылатын жүйе болып табылатын бөлшектің жылдамдығының және энергиясының микрокүйін қарастырайық. Бұл жүйе оқшауланбаған, себебі ол бірге тұйық жүйе құрайтын басқа бөлшектермен энергия алмастырады. Оқшауланған жүйелерден тұратын жүйе микроканондық жүйе деп аталады. Ал, сәйкес оқшауланбаған жүйелерден тұратын жүйе канондық ансамбль деп аталады. Сонымен, канондық ансамблдегі әрбір жүйе үлкен оқшауланған жүйенің бір бөлігі болып табылады. Канондық ансамблдегі әрбір жүйе оның кеңістіктік мағынадағы бөлігі емес, энергия және жылдамдық бойынша күйлері мағынасындағы бөлігі. Кеңістіктік мағынада бұл бөліктің өлшемі бүкіл жүйенің өлшемімен бірдей болуы мүмкін. Канондық ансамблдің әрбір жүйесінде бір немесе көптеген бөлшектер болуы мүмкін, әрбір жүйедегі бөлшектер саны үлкен жүйедегі бөлшектер санынан аз болуы маңызды. Канондық ансамблдегі жүйелердің энергиялары әртүрлі болуы мүмкін. Мәселе канондық ансамблдегі жүйелердің әртүрлі энергиялық күйлерінің ықтималдылығын табуға тіреледі. Бұл мәселені шешу канондық ансамбль құрамындағы жүйенің барлық күйлері туралы толық ақпарат береді, себебі бірдей энергиялы күйлер жиынтығы микроканондық ансамблді құрайды. Канондық ансамбль құрамындағы жеке жүйе канондық жүйе болып табылады. Канондық ансамблдегі жүйенің энергияларын талдағанда, канондық ансамбль анықтамасына сәйкес, тек қана кинетикалық энергия ғана емес, потенциалдық энергия да қарастырылады.

3. Гиббс таралуы немесе канондық таралу.Канондық жүйені ыңғайлы болуы үшін кіші жүйе деп, ал құрамында осы кіші жүйе болатын жүйені – жүйе деп атаймыз. Жүйе микроканондық ансамблге жататынын және оның тұрақты толық энергиясы болатынын еске түсірейік. Кіші жүйенің энергиясы , ал жүйенің қалған бөлігінің энергиясы болсын. Кіші жүйенің бұл күйі нақты микрокүйлердің бірі болып табылады. Сонымен қатар барлық уақытта осы кіші жүйенің энергиясы болатын микрокүйлер болуы мүмкін. Толық жүйе микроканондық ансамблге жататындықтан, оның барлық күйлері тең ықтималдықты. Толық жүйенің күйлер санын деп белгілейік. Сонда әрбір күйдің ықтималдығы болады. Кіші жүйенің осы күйі толық жүйенің көптеген күйлері арқылы орындалады. Сондай күйлер санын деп белгілесек, онда кіші жүйенің энергиясы күйде болуының ықтималдығы микроканондық ансамбльдегі ықтималдық анықтамасына сәйкес былай анықталады:

(15.1)

мұндағы – жүйе микрокүйлерінің толық саны, ал – кіші жүйенің энергиясы болатын күйді іске асыратын жүйенің микрокүйлерінің толық саны.

(15.1) формуланы практикада қолдану үшін, қатынасын қолданыпмынадай түрде жазуға болады:

(15.2)