Котрольная работа №6
Задача1.
1.1 На пяти карточках написаны буквы а, д, к, л, о. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "лодка"?
1.2 Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряде кубиков, на которых написаны буквы. А, Г, И, Л, М,0,Р., Т, получится слово алгоритм?
1.3 Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы. А, А, А, Н, Н, С получится слово ананас?
1.4 Какова вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не содержит ни одной двойки?
1.5 Отряд учащихся из 25 человек участвует в военизированной игре. В отряде 5 следопытов и 4 связиста. В разведку надо направить четырех человек. Какова вероятность того, что в разведгруппу будут включены 2 связиста и 2 следопыта, если включение в разведгруппу равновероятно для любого ученика?
1.6 На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются - две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел написанных на этих карточках, равна десяти?
1.7 Для дежурства на вечере путем жеребьевки выделяются 5 человек. Вечер проводит комиссии, в составе которой 10 юношей и 2 девушки. Найди вероятность того, что в число дежурных войдут обе девушки.
1.8 Имеется 6 билетов в театр, из которых 4 билета на места первого ряда.Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных билетов два окажутся на места первого ряда?
1.9 На один ряд из семи мест случайным образом рассаживаются; 47 учеников. Найдите вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом?
1.10 Из букв слова “событие”, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекается наудачу и складываются друг за другом в порядке извлечения 3 карточки (буквы). Какова вероятность получить при этом слово "быт"?
1.11Из пяти видов открыток, имеющихся в автомате, наудачу выбираются 3 открытки. Какова вероятность того, что все отобранные будут разные?
1.12 Во время спортивной игры по команде ведущего "становись" 10учеников в случайном порядке образовали строй в одну шеренгу. Какова того, что ученики А и В окажутся отделенными друг от друга?
1.13 Группа, состоящая из пяти юношей и семи девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе получивших билеты окажется больше девушек , чем юношей?
1.14 В одном ящике имеется 12 однотипных деталей, из которых 4 нестандартные, в другом 15 деталей и 3 из них нестандартные. Из каждого ящика наудачу извлекается, по 2 детали. Найдите вероятность того, что из первого ящика извлекли 2 нестандартные, а из второго ящика - 2 стандартные детали?
1.15 Из урны содержащей 9 белых , 9 черных ,9 синих и 9 красных шаров, наудачу извлекаются три шара. Какова вероятность того, что извлеченными окажутся белые и черные шары?
1.16 Из полного набора костей домино наудачу отобрали 4 кости, после чего кости возвратили в игру. Затем наудачу снова отобрали 4 кости. Какова вероятность того, что среди отобранных первый раз костей было 3 "дубля", а среди отобранных второй раз - только 2?
1.17 Лифт в пятиэтажном доме отправляется стремя пассажирами . Найти внешность того , что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира, предполагая , что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.
1.18 Десять различных книг расставлены на полке наудачу. Определить вероятность того, что на этом три определенные книги окажутся поставленными вместе.
1.19 Числа натурального ряда 1,2,3,..,10 расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания.
1.20 Подлежат контролю 259 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что наудачу взятая, для контроля деталь окажется: а) нестандартной; б) стандартной. Задача2
2.1 Вероятность того, что новорожденный доживет: а) до 5 лет p= 2/3; б) до 50 лет p=0 5. Вычислить вероятность того, что ребенок, достигший 5 лет, проживет до 50 лет.
2.2 Пусть вероятность стрельбы по мишени (выбьет 10 очков) равна 0,4, 9 очков - 0.1 , 8 очков - 0.2, 7 очков - 0.1, 6 очков или менее 0.1. Найдем вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не мерее 9 очков.
2.3 Рабочий обслуживал три станка в течение смены. Вероятность того, что в течение смены потребует внимания первый станок, равна 0.7, второй – 0,75, третий - 0.8. Найти вероятность того, что в течение смены потребуют внимания какие - либо два станка.
2.4 Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле постоянна и равна 0.05. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0 75, иметь хотя бы одно попадание?
2.5 Производится бомбометание в военный объект вероятность, попадания в цель при сбрасывании бомбы равна 0.7, а вероятность того, что бомба не взорвется, равна 0.08. Найти вероятность разрушения объекта, если будет сброшена одна бомба.
2.6 Пусть вероятность того, что лицо умрет на 71 - м году жизни, равна 0.04. Какова вероятность того, что из трех лиц 70 лет через 1 год будут живы: а) все; б) по крайне мере один.
2.7 Предполагая, что для шахматиста А равновероятны три исхода каждой партии (выигрыш, ничья, проигрыш ), найти вероятность того, что А из четырех партий : а) не проиграет ни одной ; 6) проиграет хотя бы одну.
2.8 Три стрелка проводят по одному выстрелу по цели, вероятностьпопадания в которая равна : для первого стрелка 0.5, для второго - 0.7, для третьего - 0.8. Найти вероятность двух попаданий в цель.
2.9 Скотник выстрелил три раза, но удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найти вероятность того, что он: а) промахнулся все три раза ; б) попадает хотя бы один раз; в) попадает два раза.
2.10 “Экзаменационный билет” содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета равна 0.9, на третий -0.8. Найти вероятность того, что студент сдаст если для этого необходимо ответить : а) на все вопросы ; б) хотя бы на два вопроса.
2.11 В пачке 10 тетрадей, из которых тетрадей в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди одновременно взятых наудачу пачки трех тетрадей в клетку будет а) одна тетрадь б) хотя бы тетрадь.
2.12 В мешке находится большое количество нитей 3-х цветов, из которых 20% белых, 30% зеленых и 50% красных. Наудачу берутся 3 нити. Какова вероятность того, что все нити одного цвета?
2.13 Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания в цель каждым из охотников одинакова иравна 0,8 Найти вероятность того, что будет произведено : а) один; б) два в) три выстрела.
2.14 В магазин поступила партия обуви одного фасона, размера, но разного цвета. Партия состоит из 40 пар черного цвета,26 коричневого, 22 - красного и 12-пар синего цвета. Коробки с обувью оказались не рассортированными по цвету. Какова вероятность того, что наудачу взятая коробка окажется с обувью красного или синего цвета?
return false">ссылка скрыта2.15 В группе 25 студентов. Из них отлично успевают по математике 5 человек, хорошо -12, удовлетворительно - 6 и слабо - 2. Преподаватель, не знакомой с группой, вызывает по списку одного из студентов. Определить вероятность того, что вызванный студент будет отличником или хорошо успевающим.
2.16 В студенческой груше10 дружинников. Среди них 3 человека имеют возраст от 18 до 20 лет, 5 - от 20 до 22 лет и2- от 22до 24. Путем жеребьевки из дружинников должен быть избран одни человек на дежурство. Чему равна вероятность того, что избранным окажется дружинник: а) в возрасте от 18 до 22 лет; б) в возрасте от 18 до 20 лет или 20 до 22лет?
2.17 На двух автоматических станках изготавливается одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0.92, а на втором –0,80. Изготовленные не рассортированные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных напервом станке, в три раза больше, чем на втором. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь ; а) произведена на первом станке и высшего качества ; б) произведена на втором станке и высшего качества; в) окажется высшего качества.
2.18 Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0.9, для второго - 0.8, для третьего - 0.85. Какова вероятность того, что в течение часа : а) ни один станок не потребует внимания рабочего ; б)все три станка потребуют внимания рабочего ; в)какой-нибудь один потребует внимания рабочего; г) хотя бы один потребует внимания рабочего?
2.19 Многолетними наблюдениями установлено, что в данном районе в сентябре 10 дней бывают дождливыми. Совхоз должен в течение первых трех дней сентября выполнить определенную работу. Определить вероятность того, что ни один из этих дней не будут дождливыми.
2.20 Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него две детали. Берет их случайным образом из имеющихся у него 10. Среди деталей находятся 2 штуки уменьшенного размера. Механизм не будет работать , если обе детали уменьшенного размера. Определить вероятность того, что механизм : а) не будет работать; б) будет работать.
Задача3
3.1 Прибор, установленный на борту самолета , может работать в двух режимах : в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке . Крейсерский режим полета осуществляется в 80 % всего времени полета , условие перегрузки в 20 % . Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки -0,4 . Вычислить надежность прибора за время полета.
3.2 Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30 , Сидоров плохо занимался весь семестр и успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов . Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85 , а при незнании билета можно сдать экзамен с вероятностью 0,1?
3.3 Три стрелка, вероятность попадания которых при одном выстреле в мишень в неизменных условиях постоянна и соответственно равна 
=0,8; 
=0,7; 
=0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события А={в мишени окажется ровно две пробоины}, приняв в качестве гипотез элементарные исходы этого эксперимента.
3.4 Ha вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой , а с вероятностью 0,2 - только помеха . Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха , то с вероятностью 0,3 . Известно , что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.
3.5 Противотанковая батарея состоит из 10 орудий, причем для первой группы из шести орудий вероятности того , что при одном выстреле , произойдет недолет , попадание или перелет, равны соответственно 0,1 ; 0,7 ; 0,2 . Для каждого из остальных четырех орудий вероятности тех же самых событий равны соответственно 0,2 ; 0,6 и 0,2 . Наудачу выбранное орудие произвело три выстрела по цели, в результате чего было зафиксировано одно попадание, один недолет и один перелет . Какова вероятность того , что стрелявшее орудие принадлежит первой группе ?
3.6 В группе из 25 человек , пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей , имеется 10 отличников , 7 подготовленных хорошо, 5 - удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены . Отличники знают все 25 вопросов , хорошо подготовленные - 20 , подготовленные удовлетворительно - 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов . Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятность следующих событий : 
={студент подготовлен отлично или хорошо}, S2= {студент подготовлен удовлетворительно}, 
={студент подготовлен плохо}.
3.7 С первого автомата поступает на сборку 0,1 % бракованных деталей, со второго-0,2 % , с третьего - 0Д5 % , с четвертого - 0,5 % . Производительности их относятся как 4:3:2:1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена : а) на первом ; б) на втором ; в) на третьем ; г) на четвертом автомате . Как проверить правильность вычислений .
3.8 С первого автомата поступает на сборку 80 % , со второго - 20 % таких деталей . На первом автомате брак составляет 1 % , на втором - 4 % . Две проверенные детали , изготовленные одним и тем же автоматом ,оказались бракованными. Найти вероятность того, что эти детали заготовлены: а) на первом ; б) па втором автомате.
3.9 Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%,причем среда забракованной по признаку А продукция в 10 % случаев встречается дефект В, а в продукции свободной от дефекта А , дефект В встречается в 1 % случаев . Найти вероятность не встретить дефект В во всей продукции.
3.10 С первого автомата на сборку поступает 40 % , со второго - 30%, с третьего - 20 % , с четвертого - 10% деталей. Среди деталей первого автомата 0,1 %' бракованных, второго - 0,2 % ," третьего - 0,25 % , четвертого - 0,5 % . Найти вероятность того , что поступившая на сборку деталь бракованная.
3.11 Обследовано 200 пар отцов с сыновьями с целью проверки, имеется ли зависимость между их профессиями. Среди них оказалось: 40 отцов и 50 сыновей, имеющих некоторую профессию М ,25 сыновей, профессия которых совпадает с профессией отца (относительно профессии, M). Найти вероятность того, что: а) у отца занимающегося профессией М, сын занимается той же профессией ; б) у отца, не занимающегося Профессией М, сын занимается профессией М.
3.12 Имеются две одинаковые урны, первая из которых содержит 2 черных и 3 белых шара, а вторая -2черных и 1 белый шар. Сначала наугад выбирается одна уряд, потом из нее извлекается наугад один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар? Решите ту же задачу, исходя из условия, что обе урны содержат по два белых и по два черных шара.
3.13 Ученик пришел на экзамен, зная 25 билетов из 30 . Перед ним был взят только один билет. Какова вероятность того, что ученик знает наудачу вытянутый билет?
3.14 Имеются две одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй 6 белых и 4 черных. Наудачу выбирается урна, из нее наугад выбирается шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар вынут из первой урны?
2.3.15 В группе 10 юношей, которые играют , набрасывая кольца на колышек . Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6, для трех других - 0,5 и для остальных – 0,3. Кольцо, брошенное одним из юношей, попало на колышек. Какова вероятность того что это кольцо было брошено юношей из первой группы?
3.16 В одной студенческой группе обучается 24студента, во второй студентов и в третьей - 40 студентов. По математическому анализу получили отличные отметки студентов первой группы ,6 студентоввторой группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим по математике оценку «отлично». Какова вероятность того, что он учится в первой группе?
3.17 Преподаватель экзаменует незнакомую ему группу по экзаменационным билетам, содержащим по три вопроса. Он знает, что в предыдущую сессию в этой группе было 27 успевающих студентов, из них 6 отличников, и трое неуспевающих студентов, и считает, что отличники ответят на все три вопроса с вероятностью 80%, остальные успевающие студенты - с вероятностью 60% и неуспевающие - с вероятностью 20%. Вызванный студент ответил на все три вопроса билета. Какова вероятности того, что он: а) отличник; б) успевающий студен г) неуспевающий студент?
3.18 Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы 8 - на 25 вопросов, 5 - на 20 вопросов и двое - на 15 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдите вероятность того, этот студент : а ) подготовил все вопросы ; б) подготовил только половину вопросов.
3.19 Имеются 3 одинаковых урны. В первой находятся 3 белых и 4 черных шара во второй - 7 белых и 3 черных и в третей - только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный наудачу шар оказался черным. Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны ?
3.20 В классе обучаются 26 девочек и 10 мальчиков. К уроку не выполнили домашнее задание 4 девочки и 3 мальчика. Наудачу вызванный ученик оказался не подготовленным, к уроку. Какова вероятность того что отвечать был вызван мальчик?
Задача4
4.1 Для данного участника игры вероятность набросить кольцо наколышек равна 0,3, Какова вероятность того что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке, если броски считать независимыми?
4.2 На самолете имеется 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найдите вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.
4.3 Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0.4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или, отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?
4.4 Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода - электроэнергии не будет?
4.5 Вероятность того, что стрелок попадает, а цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность Toro, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?
4.6 В горном районе создано п автоматических сейсмических станций . Каждая станция в течение года может выйти из строя с вероятностью р. Какова вероятность, того, что в течение года хотя бы одна станция потребует ремонта?
4.7 Вероятность появления события А хотя бы один раз при пяти независимых испытаний равна 0,99757 . Какова постоянная вероятность появлений этого события при одном испытании?
4.8 Известно, что 5% радиоламп, изготовляемых заводом, являются нестандартными. Из большой партии (независимо, друг от друга) производится случайная выборка радиоламп. Сколько ламп надо взять, чтобы с вероятностью не менее 0,9 была извлечена хотя бы одна нестандартная лампа?
4.9 Вероятность, попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Сколько надо произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,99 в мишени была хотя бы одна пробоина?
4.10 При высаживании непикированной рассады помидоров только 80% растений приживаются. Найдите вероятность тоге , что из десяти посаженных кустов помидоров приживается не менее девяти.
4.11 Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан: а) на 3 вопроса; 6) не менее чем на 3 вопроса?
4.12 Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число попаданий.
4.13 Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы 0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?
4.14 Произведено 400 независимых испытаний. Какова должна быть вероятность появления события А в каждом испытании (вероятность появления события А в каждом испытаний одна и та же) , чтобы наиболее вероятное число появления события А при этом равнялось 150?
4.15 Какова вероятность получения не менее 70% правильных ответов при простом отгадывании на экзамене, состоящем в определении истинности или ложности десяти утверждений?
4.16 Контрольная работа состоит из шести задач, причем для успешного выполнения ее необходимо решить любые четыре задачи. Если студент будет решать в течение отведенного времени лишь четыре задачи, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,8 . Если он попробует решить пять задач, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,7, a если он возьмется за решение всех шести задач, то эта вероятность снизиться до 0,6. Какой тактики должен - придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы успешно выполнить работу?
4.17 Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты срабатывал правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет , чтобы наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата было равно 100?
4.18 Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантируемого срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.
4.19 Найти вероятность разрушения объект, если для этого необходимо не менее трех попаданий, а сделано 15 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле, равна 0,4.
4.20 Пусть вероятность, того, что пассажир опоздает отправлению поезда, равна 0.02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров.
Задача 5
5.1. Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кости шестерка выпадает 10 раз?
5.2 Вероятность отказа каждого прибора при испытаний равна 0,2. Что вероятнее отказ четырехприборов при испытаний 20 или отказ шести приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от друга?
5.3 Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии превысит суточную норму, равна 0,2. Какова вероятность того, что за 25 рабочихдней будет зафиксирован перерасход электроэнергии: а) в течение пяти дней, б) от пяти до семи дней включительно?
5.4 Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кисти пятерка выпадет от 10 до 20 раз включительно?
5.5 Упаковщик укладывает 900 деталей, проверенных ОТК или изготовленных рабочими, имеющими личное клеймо. Вероятность того, что деталь помечена личным клеймом, равна 0,1. Найдите вероятность того, что среди них окажется от 100 до 120 деталей с личным клеймом?
5.6 Электростанция обслуживает сеть с 6000 лампочек, вероятность включение каждой из которых за время t равна 0,8. Найдите вероятность того, что одновременно будет включено не менее 4750 ламп.
5.7 Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова вероятность того, что из100 билетов выигрыш выпадет: а) на два билета, б) хотя бы на один билет, в) на два или три билета?
5.8 Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,005. Найдите вероятность того,что из 600 проверяемых изделий не выдержат испытания более двух изделий.
5.9 Вероятность того, что на странице книги могут оказаться отпечатки, равна 0,0025. Проверяется книга, содержащая 800 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся: а) 5 страниц, б) от трех допяти страниц?
5.10 С торговой базы в магазин отправлено n доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна р причем п велико, а р мало. Известно, что вероятность получение магазином четырех изделий, получивших дефекты, равна вероятности получения магазином пяти изделий с дефектами. Найдете вероятность того, что магазин получит семь изделий сдефектами.
5.11 Из полного набора костей домино наудачу 75 раз извлекают по одной кости причем после каждого извлечения кость возвращают в игру. Какова вероятность того, что при этом "дубль" появится 25 раз?
5.12 Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0.2 .Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера.
5.13 Предполагая, что вероятность поражения мишени при одном
выстреле равна 0,6, найти вероятности следующих событий: а)при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз ; б) при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 111 , но не более 130 раз.
5.14 Застраховано на один год а) 1000, 5) 4000 человек 20 летнего возраста. Страховой взнос каждого 15 тыс., руб. В случае смерти застрахованного наследникам выплачивается 1200 тыс. руб., какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке, если вероятность смерти на 21 году для каждого равна 0,006?
5.15 Известно, что 3/5 всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов выпускается первым сортом. Изготовленные аппараты расположены один возле другого случайным образом. Приемщик берет первые попавшиеся 200 шт. Чему равна вероятность того, что среди них аппаратов 1 сорта окажется: а) от 120 до 150 шт., б) от 90 до 150 шт.
5.16 Проверкой качества изготовляемых на заводе часов установлено, что в среднем 98%их отвечает предъявленным требованиям, 2% нуждаются в дополнительной регулировке. Приемщик проверяет качество 300 изготовленных часов. Если среди них обнаружится 11 или более часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, то вся партия возвращается заводу для доработки. Определить вероятность того, чтопартия будет принята.
5.17 Вероятность выпуска нестандартной детали равна 0,1. Чему равна вероятность того, что в партии из 200 ламп: а) число стандартных будет не менее 1790 шт.; б)число нестандартных будет менее 101 шт.; в) число нестандартных будет менее 201 шт.?
5.18 Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта 0,9. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут первого сорта.
5.19 С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0,0005. Найдите вероятность того, что в магазин прибудут 3 испорченных изделия.
5.20 В условиях задачи (5.18) найдите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий от 530 до 532 (включительно) будут первого сорта.
Задача 6
В урне тбелых и п черных шаров. Из урны вынули р шаров. Случайная величина X - число вынутых белых шаров. Требуется:
1) построить ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины X;
2) найти функцию распределения случайной величины X и начертить ее график;
3) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X;
4) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше p.
6.1) m=4 n=4 p=3
6.2) m=4 n=5 p=3
6.3) m=4 n=6 p=3
6.4) m=5 n=3 p=4
6.5) m=5 n=4 p=4
6.6) m=5 n=5 p=4
6.7) m=5 n=6 p=3
6.8) m=6 n=3 p=4
6.9) m=6 n=4 p=3
6.10) m=6 n=5 p=3
6.11) m=6 n=6 p=3
6.12) m=7 n=3 p=3
6.13) m=7 n=4 p=3
6.14) m=7 n=5 p=3
6.15) m=7 n=6 p=4
6.16) m=7 n=7 p=4
6.17) m=8 n=3 p=3
6.18) m=8 n=4 p=4
6.19) m=9 n=5 p=5
6.20) m=8 n=6 p=4
Задача 7
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения f(x). Найдите:
1) плотность распределения f(x);
2) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины X ;
3) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;2).
Начертите графики интегральной и дифференциальной функций случайной величины X.
Задача 8
Дана плотность распределения непрерывной случайной величины f(x) . Найдите:
1) постоянную распределения а;
2) функцию распределения F(x);
3) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X;
4) вероятность попадания случайной величины в интервал (-2;1).
Задача 9
9.1 Принимая вероятность попадания в цель при выстреле равной 0,4, оценить вероятность того, что при 120 выстрелах окажется не более 80 попаданий. Найти приближенное значение этой вероятности, пользуясь интегральной теоремой Лапласа.
9.2 Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000 л в день.
9.3 Вероятность выпуска нестандартной радиолампы равна 25%. Оценить снизу вероятность того, что в партии из 1000 радиоламп число нестандартных отличается от 250 меньше, чем на 40.
9.4 Оценить вероятность того, что число лиц, имеющих высшее образование, в группе из 800 человек отличается от своего математического ожидания меньше, чем на 30.
9.5 За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1 см, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0.1 см.
9.6 Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не более, чем на 0.25 превысит 0.99.
9.7 Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величины, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.98, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине меньше, чем на 0.01,если дисперсия отдельного результата измерения не превосходит 1?
9.8 Для установления среднего размера детали в партии, размещенной в 100 ящиках с одинаковым количеством деталей в каждом, взяли по одной детали из каждого ящика. Вычислить верхний предел отклонения среднего размера детали в отобранной совокупности от среднего ее размера во всей партии, если результат необходимо гарантировать с вероятностью не меньше, чем 0.8, а дисперсия размера по каждому ящику не превышает 6.
9.9 Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 9. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0.997?
9.10 Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 55 см. Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадает 175 см.
9.11 Среднее потребление электроэнергии за май месяц населением одного из микрорайонов г. Уфы равно 360000 кВт ч:
а)оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года превзойдет 1000000 кВт ч;
б)оценить ту же вероятность, если известно, что среднее квадратическое уклонение потребления электроэнергии в данном микрорайоне за май равно 40000 кВт ч.
9.12 На промысле имеется 30 буровых установок, каждая из которых может выйти из строя за данный промежуток времени с вероятностью 0.05. Какова вероятность того , что число буровых установок, вышедших из строя за данный промежуток времени, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более , чем на 4.
9.13 Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/ч. Какие скорости ветра можно ожидать на этой высоте с вероятностью, не меньшей 0.9?
9.14 Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что частота появления герба при ста бросаниях монеты отклонится от вероятности не более, чем на 0.1. Сравнить с вероятностью, полученной с помощью применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
9.15 Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения расхода газа на некотором участке газопровода равно 30 м3/сут. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 60 м3/сут.
9.16 Изнашивание орудия при стрельбе таково, что каждый выстрел уменьшает вероятность попадания в цель на 1%. При первом выстреле эта вероятность равна 0.8. Производится 100 выстрелов. Найти границы, в которых с вероятностью 0.85 будет заключено число попаданий.
9.17 Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0.4.
9.18 Среднее квадратическое отклонение каждого из 2134 независимых измерений расхода газа на участке газопровода не превосходит 4. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0.5.
9.19 За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1, оценить вероятность того, что при 1000 измерений этой величины отклонение найденного значения ее от истинного не превосходит 0.1 единицы.
9.20 Вероятность положительного исхода отдельного испытания р=-0.8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частости положительных исходов от вероятности при отдельном испытании к своей абсолютной величине будет меньше 0.05 .
Задача 10
Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y). Найдите законы распределения, математические ожидания и дисперсии составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.
10.1) 10.2)
| X Y | |||
| 0,1 | 0,6 | 0,07 | 0,12 |
| 0,4 | 0,01 | 0,1 | 0,1 |
| X Y | |||
| 3,3 | 0,05 | 0,15 | 0,1 |
| 4,4 | 0,15 | 0,05 | 0,15 |
| 5,5 | 0,2 | 0,1 | 0,05 |
10.3) 10.4)
| X Y | 1,3 | 1,5 |
| 1/17 | 3/17 | |
| 4/17 | 2/17 | |
| 1/17 | 6/17 |
| X Y | 2,1 | 2,3 | 2,8 |
| 0,11 | 0,22 | 0,33 | |
| 0,05 | 0,07 | 0,06 | |
| 0,06 | 0,03 | 0,07 |
10.5) 10.6)
| X Y | 9,3 | 9,8 | 9,9 |
| 0,12 | 0,21 | 0,08 | |
| 0,1 | 0,38 | 0,11 |
| X Y | ||
| 3,4 | 1/21 | 1/7 |
| 4,3 | 1/3 | 2/21 |
| 5,2 | 3/21 | 5/21 |
| X Y | |||
| 1,2 | 1/15 | 0,1 | 7/30 |
| 1,4 | 1/3 | 0,1 | 1/6 |
10.7) 10.8)
| X Y | |||
| 0,3 | 1/27 | 1/9 | 1/3 |
| 0,6 | 8/27 | 4/27 | 2/27 |
10.9) 10.10)
| X Y | 1,4 | 1,9 |
| 1/16 | 1/8 | |
| 7/16 | 3/16 | |
| 1/8 | 1/16 |
| X Y | |||
| 0,7 | 0,05 | 0,15 | 0,3 |
| 0,5 | 0,15 | 0,25 | 0,1 |
10.11) 10.12)
| X Y | ||||
| 1,4 | 1/30 | 1/15 | 0,1 | 7/30 |
| 1,7 | 1/6 | 1/5 | 2/15 | 1/15 |
| X Y | 0,1 | 0,6 |
| 0,1 | 0,15 | |
| 0,2 | 0,05 | |
| 0,3 | 0,2 |
10.13) 10.14)
| X Y | |||
| 1,3 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
| 1,5 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
| X Y | |||
| 0,1 | 1/15 | 1/5 | 2/15 |
| 0,2 | 1/15 | 2/15 | 1/15 |
| 0,4 | 1/5 | 1/15 | 1/15 |
10.15) 10.16)
| X Y | ||
| 1,2 | 1/30 | 7/15 |
| 1,4 | 2/5 | 0,1 |
| X Y | 1,5 | 1,3 |
| 0,05 | 0,45 | |
| 0,15 | 0,1 | |
| 0,2 | 0,05 |
10.17) 10.18)
| X Y | ||
| 2,4 | 0,3 | 0,4 |
| 2,6 | 0,2 | 0,1 |
| X Y | |||
| 0,6 | 2/15 | 4/15 | 1/15 |
| 0,8 | 0,2 | 2/15 | 0,2 |
10.19) 10.20)
| X Y | 1,1 | 1,5 |
| 0,1 | 0,25 | |
| 0,35 | 0,1 | |
| 0,15 | 0,05 |
| X Y | ||||
| 0,1 | 3/40 | 1/20 | 1/10 | 1/40 |
| 0,5 | 7/40 | 1/5 | 3/20 | 9/40 |
Задача 11
Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью f(x,y). Найдите:
1) постоянную распределения системы а;
2) вероятность попадания случайной величины (X,Y) в область D ;
3) математические ожидания 
, 
, дисперсии 
, 
ковариацию 
, коэффициент корреляции 
.
11.1)
11.2)
11.3)
11.4)
11.5)
11.6)
11.7)
11.8)
11.9)
11.10)
11.11)
11.12)
11.13)
11.14)
11.15)
11.16)
11.17)
11.18)
11.19)
11.20)
Задание 12
В урне m и n черных шаров. Из урны вынули р шаров. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Требуется:
1) построить ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины Х;
2) найти функцию распределения случайной величинв Х и начертить ее график;
3) найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;
4) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше р.
12.1. m=4, n=4, p=3;
12.2. m=4, n=5, p=3;
12.3. m=4, n=6, p=3;
12.4. m=5, n=3, p=3;
12.5. m=5, n=4, p=4;
12.6. m=5, n=5, p=4;
12.7.m=5, n=6, p=4;
12.8.m=6, n=3, p=3;
12.9.m=6, n=4, p=4;
12.10.m=6, n=5, p=3;
12.11.m=6, n=6, p=3;
12.12.m=7, n=3, p=3;
12.13.m=7, n=4, p=3;
12.14.m=7, n=5, p=3;
12.15.m=7, n=6, p=4;
12.16.m=7, n=7, p=4;
12.17.m=8, n=3, p=3;
12.18.m=8, n=4, p=4;
12.19.m=8, n=5, p=5;
12.20.m=8, n=6, p=4;
Задача 13
Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(х). Найдите:
1)плотность распределения f(х);
2)математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины Х;
3)вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;2);
Начертите графики интегральной и дифференциальной функций случайной величины Х.
13.1 F(x)= 
13.2 F(x)= 
13.3 F(x)= 
13.4 F(x)= 
13.5 F(x)= 
13.6 F(x)= 
13.7 F(x)= 
13.8 F(x)= 
13.9 F(x)= 
13.10 F(x)= 
13.11 F(x)= 
13.12 F(x)= 
13.13 F(x)= 
13.14 F(x)= 
13.15 F(x)= 
13.16 F(x)= 
13.17 F(x)= 
13.18 F(x)= 
13.19 F(x)= 
13.20 F(x)= 
Задание 14
1) постоянную распределения а;
2) функцию распределения Fx);
3) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;
4) верочтность попадания случайной величины в интервал (-2;1).
14.1 f(x)= 
14.2 f(x)= 
14.3 f(x)= 
14.4 f(x)= 
14.5 f(x)= 
14.6 f(x)= 
14.7 f(x)= 
14.8 f(x)= 
14.9 f(x)= 
14.10 f(x)= 
14.11 f(x)= 
14.12 f(x)= 
14.13 f(x)= 
14.14 f(x)= 
14.15 f(x)= 
14.16 f(x)= 
14.17 f(x)= 
14.18 f(x)= 
14.19 f(x)= 
14.20 f(x)= 