Задание 5. Длина векторов и угол между векторами - 1ч.

Цель: формирование умения находить длины векторов, угол между векторами, скалярное произведение векторов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

Вопросы для самоконтроля 1.Чем отличается векторная величина от скалярной? 2.Приведите примеры векторных и скалярных величин. 3.Что такое направленный отрезок? Чем он отличается от отрезка? 4.Какие векторы называются коллинеарными? 5.Какие векторы называются ортогональными? Решите задачи: 1.1.Дан прямоугольник ABCD. Назовите векторы, заданные вершинами прямоугольника. Какие из них: а) лежат на прямой АС; б) параллельны прямой CD; в) перпендикулярны прямой BC? 1.2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Назовите векторы, заданные его вершинами и точкой пересечения диагоналей. Какие из них: а) коллинеарны AB; б) коллинеарны AC ; в) коллинеарны BO? 1.3.Дан квадрат ABCD. Назовите векторы, заданные его вершинами и перпендикулярные: а) AB; б) ) AD, в) AC . 1.4.В равностороннем треугольнике АВС проведены медианы АК и ВМ и средняя линия КМ. Назовите коллинеарные и взаимно перпендикулярные векторы, заданные точками А, В, С, К, М. 1.5.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор, заданный его вершинами и а) коллинеарный вектору AD; б) коллинеарный вектору AB ; в) коллинеарный вектору AA1 ; г) коллинеарный вектору AC ; д) перпендикулярный вектору AD; е) перпендикулярный вектору BD; ж) параллельный плоскости ВВ1С1; з) перпендикулярный плоскости CDD1.   1.6.Нарисуем прямую а. Нарисуйте вектор: а) лежащий на прямой а; б) параллельный прямой а; в) перпендикулярный прямой а. 1.7.Нарисуйте какой-либо вектор, а затем вектор: а) параллельный данному; б) коллинеарный данному; в) перпендикулярный данному. Вопросы для самоконтроля 1.Какие два луча на плоскости называются сонаправленными? 2.Какие два вектора AB и CD называются сонаправленными? 3.Какие два вектора называются противоположно направленными? 4.В чем состоит признак сонаправленности векторов? 5.Как определить сонаправленность лучей и векторов в пространстве? Решите задачи: 2.1.В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Назовите векторы: а) сонаправленные с AB ;б)сонаправленные с AC ; в) противоположно направленные вектору DO . 2.2.В треугольнике ABC проведены средние линии KL, LM, MK. Назовите пары сонаправленных и противоположно направленых векторов, заданных точками A,B,C, K, L, M. 2.3.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор, заданный его вершинами и: а) сонаправленный с вектором AD; б) сонаправленный с вектором AB ; в) противоположно направленный вектору AA1 ; г) сонаправленный с вектором AC . 2.4.Нарисуйте какой-либо вектор, а затем вектор: а) сонаправленный с нарисованным вектором; б) направленный противоположно нарисованному. 2.5.Что можно сказать о направлении векторов AB и BA? 2.6.Точка М лежит на прямой АВ. В каком случае векторы AM и BM сонаправлены? А когда они направлены противоположно? 2.7.Известно, что a ↓↑b и b ↓↑ c . Каково взаимное расположение векторов a и c ? Вопросы для самоконтроля 1.Чем определяется равенство двух векторов? 2.Какие вам известны признаки равенства двух векторов? Решите задачи: 3.1.Дан прямоугольник ABCD. Среди векторов, заданных его вершинами, укажите равные. 3.2.Даны: а) отрезок AB и его середина O; б) параллелограмм ABCD и две его диагонали, пересекающиеся в точке O. Среди векторов, заданных этими точками, укажите равные. 3.3.Нарисуйте прямую и на ней две точки А и В. а) Нарисуйте вектор AB и вектор BC = AB . б) Нарисуйте вектор BA и вектор AD= BA. в) Равны ли векторы AD и BC ? 3.4.Нарисуйте вектор a и какую-нибудь точку А. Отложите от нее вектор AB = a . От точки В отложите вектор BC =a . Нарисуйте такую точку Х, что XA =a . 3.5. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1. а) Среди векторов, заданных его вершинами, укажите равные. б) От точки А отложите вектор, равный DA, CD1, DD . 3.6.Дан куб ABCDA1B1C1D1. Какой угол образуют между собой векторы: а) АА1 и DC1; б) DB и В1С1; в) AD1 и B1C; г) СВ1 и DC1; д) А1С1 и B1D; е) DC1 и D1A? Вопросы для самоконтроля 1.Как складываются два вектора по правилу треугольника? 2.В каких случаях удобно применять правило треугольника? 3.Как складываются два вектора по правилу параллелограмма? 4.Когда удобнее применять правило параллелограмма? Решите задачи: 4.1.Нарисуйте треугольник АВС. Нарисуйте векторы: а) AB + BC ; б) СВ + ВА ; в) СА + AB ; г) ВА +СВ ; д) ВА + СА ; е) СВ +СА . 4.2.Нарисуйте параллелограмм ABCD. Нарисуйте векторы: а) AB + BC; б) AD + BC ; в) СВ + ВА ; г) AC +CD; д) AB + DA; е) BD+ AC ; ж) AB + DC ; з) AD +СВ ; и) AB + AD ; к) СВ +CD; л) AB + AC ; м) DB+СА . Представьте вектор ВА как сумму двух векторов, заданных вершинами параллелограмма. 4.3.Нарисуйте куб. Выберите любую пару его вершин и нарисуйте вектор, заданный эти вершинами. Нарисуйте еще один такой вектор, полученный таким же способом. Нарисуйте сумму этих векторов.  

Методические указания по выполнению работы:

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в противоположные стороны.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Свойства: Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010.- Глава 17, § 4-6, стр.276-279, Глава 21, § 2, стр.339.

  1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 2, § 4-7, стр. 52-63.
  2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §1, стр. 125 – 130, §3, стр. 136 – 138 .