Основные теоретические сведения

4.1.1 Преобразования Фурье.При воздействии на цепь сигналов произвольной формы широко используется спектральный (частотный) метод анализа электрических цепей. Спектральный метод позволяет определять спектр входного воздействия и вычислять спектральную плотность реакции цепи по спектру входного воздействия и соответствующей комплексной функции передачи цепи , а также находить реакцию цепи в переходном и установившемся режимах.

Математической основой спектрального метода анализа электрических цепей являются преобразования Фурье. Непериодическая функция, удовлетворяющая условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах , может быть представлена интегралом Фурье:

(4.1)

Внутренний интеграл в выражении (4.1) является спектром или спектральной плотностью заданной функции и называется прямым преобразованием Фурье:

(4.2)

Заданную функцию можно определить по спектру с помощью обратного преобразования Фурье:

(4.3)

Одностороннее обратное преобразование Фурье (если при ):

(4.4)

Спектральная плотность является комплексной функцией частоты и может быть записана в показательной форме: , где − амплитудно-частотная характеристика АЧХ (чётная функция частоты),

− фазочастотная характеристика ФЧХ (нечётная функция частоты).

Обратное преобразование Фурье в тригонометрической форме:

(4.5)

Сравнивая прямое и обратное преобразование Лапласа с прямым (4.3) и обратным преобразованием Фурье (4.4), можно сделать вывод, что преобразования Фурье являются частным случаем преобразований Лапласа и получаются из него при .

 

4.1.2 Некоторые свойства преобразований.

Фурье теорема линейности: ;

спектры производной и интеграла: если , то и

;

теорема запаздывания: если , то .

4.1.3 Определение спектра непериодических функций.Спектры непериодических входных воздействий определяют по формуле прямого преобразования Фурье или используя таблицы операторных изображений по Лапласу, в которых заменяют на . Пример в задаче 4.1.

4.1.4 Определение спектральной плотности реакции цепи.Спектральную плотность реакции цепи вычисляют по спектральной плотности входного воздействия и соответствующей комплексной функции передачи цепи.

Расчет спектра тока в , закон Ома для частотных спектров при нулевых начальных значениях):

(4.6)

где - спектр непериодического входного воздействия;

- комплексное сопротивление , которое применялось ранее для расчёта установившихся гармонических процессов.

Расчет спектра тока двухполюсника:

 

(4.7)

 

где - комплексные входные сопротивление и проводимость.

В общем случае спектральную плотность реакции цепи (напряжение или ток произвольного элемента цепи) вычисляют по спектральной плотности входного воздействия по формулам (4.8):

 

(4.8)

где , - спектры непериодических входных воздействий (напряжения и тока);

- комплексные передаточные функции цепи.

Для расчёта комплексных передаточных функций цепи применяется комплексный метод, который применялся ранее для расчёта установившихся гармонических процессов Примеры в задачах 4.2; 4 .

4.1.5 Определение реакции цепи в переходном и установившемся режимах. Спектральный метод может быть применён для расчета переходных процессов в линейных электрических цепях, так как преобразования Фурье являются частным случаем преобразований Лапласа и получаются из него при .

Порядок расчета переходных процессов спектральным методом:

а) определение спектра входного воздействия;

б) определение соответствующей передаточной функции цепи;

в) определение спектра реакции цепи;

г) определение реакции цепи по её спектру с помощью обратного преобразования Фурье, по таблице, по теореме разложения.

Примеры в задачах 4.2; 4.