Ортогонализация системы векторов

Покажем, что каждую линейно независимую систему векторов можно преобразовать в ортогональную систему.

В основе построения ортогональной системы, лежит понятие ортогональной составляющей вектора относительно системы векторов. Вектор

называется ортогональной составляющей вектора а относительно ортогональной системы ненулевых векторов b₁, b₂, …, b_n.

Ортогональная составляющая а⁰ вектор а относительно ортогональной системы не нулевых векторов b₁, b₂, …, b_n ортогональна каждому вектору этой системы.

Действительно:

,

так как b_ib_j=0 для i≠j.

Пример. Найти ортогональную составляющую вектора а=(1, 1, 1, -1) относительно ортогональной системы b₁=(1, 0, 1, 0); b₂=(-1, 1, 1, 1); b₃=(1, 1, -1, 1).

Имеем:

=2; 2; 0; =0