ІІІ. Тапсырмалар
1. Түзуді салу: 1) 3x+4y=12; 2) 3x-4y=0; 3) 2x-5=0;4) 2y+5=0.
2. Теңдеудің берілген деректері бойынша түзуді салу, бұыштық коэффициенті мен осьтермен қиылысу нүктелерін анықтау:
a) 2x-3y=6; b) 2x+3y=0; c) y=-3; d) 
e) 
;
f) 
; g) 
;
3. Ox осімен 450 бұрыш жасайтын b=3 түзудің Oy осін қиятын теңдеуін құру және салу.
4. y= - 3x+1 түзуімен 300 бұрыш жасайтын және координатаның бас нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазу.
5. Координатаның бас нүктесі және (2;3) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін құру және оны салу.
6. А(-1;3) және В(4;-2) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазу.
7. Үшбұрыштың А(-2;0), В(2;4) және С(4;0) төбелері берілген. Үшбұрыштың қабырғаларының теңдеуін құру.
8. Түзу А(7;-3) және В(23;-6) нүктелері арқылы өтеді. Осы түзудің абцисса осімен қиылысу нүктесін табу.
9. 
нүктесі арқылы өтетін және: а) абсцисса осіне; б) ордината осіне; в) y=3x+9 түзуіне параллель түзудің теңдеуін жазу.
10. Ox осін a) 4; b) –5; c) 0 нүктеде қиятын кесіндінің Oy осіне параллель түзу теңдеуін құру.
11. 
түзудің А(5;-4) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін құру.
12. А(-2, 3) нүктесі 2x-3y+8=0 түзуіне перпендикуляр түзудің бойында жататын нүкте. Осы түзудің теңдеуін құру.
13. 12x+5y-52=0 түзуіне параллель және осы түзуден 2-ге тең қашықтықта орналасқан түзудің теңдеуін жазу.
14. Түзулердің арасындағы бұрышты табу: a) 
және 
;
b) 5x-y+7=0 және 
; c) 
және 
;
d) 
және 
.
15. Екі түзудің қиылысу нүктесін табу: 3x-4y-29=0 және 2x+5y+19=0.
16. 
нүктесі арқылы өтетін және векторына 
параллель түзудің канондық теңдеуін құру.
17. Нормалданған векторы n=(1, -2, 3) және В(2, 1, -1) нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу және салу.
18. Жазықтықтардың арасындағы бұрышты табу:
x - 2y + 2z – 3=0 және 3x - 4y + 5 =0
19. Параллель жазықтықтардың арақашықтығын табу:
x - 2y + 4z – 1 = 0 және 2x -5y + 2z + 12 = 0.
20. А(2;-1;3) нүктесі арқылы өтетін, 
жазықтығына перпендикуляр түзудің параметірлік теңдеуін құрыңдар.
Практикалық жұмыс №9
«Екінші ретті қисық»
Жұмыс мақсаты:
1.Екінші ретті қисықтың теңдеуімен таныстыру.
2.Екінші ретті қисықты салуды үйрету.
Жұмыс мазмұны:
Анықтама Екінші ретті қисық деп координатасы екінші ретті мына
теңдеуді қанағаттандыратын нүктелер жиынтығын айтамыз.
1.Шеңбер деп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын шенбер деп атайды.
немесе 
центрі С нуктесінде жаткан радиусы R -ге тең шеңбердің канондық теңдеуі.
Егер шеңбер центрі С координатаның бас нүктесінде жатса, онда х0 = у0 = 0 .
Сондыктан : х2 +у2 = R2
Шеңбердің жалпы теңдеуі: 
1 мысал. Берілген қисықты салу: 
.
Шешуі. Толық квадраттарын ашып аламыз, бұдан
Шеңбер центрі - 
, радиус 2 тең
2.Эллипс.Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарыньң қосындысы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нұктелердің геометриялык орындарын эллипс деп атайды.
Анықтама бойынша F1M + F2M = 2a нүктелер, М{х, у) -эллипстің бойындағы кез келген
жылжымалы нүкте, 2а-тұрақты шама. Егер F1F2 = 2с десек, онда F1(-C;0), F2(C;0). Сонда:
Енді осы мәндерді қойсақ:
Егер а>с болса, онда а2 —с2=b2 болады.
Эллипстің канондық теңдеуі: 
2 мысал. 
және 
нүктелері арқылы өтетін эллипстің канондық теңдеуін құру.
Шешуі: Эллипстің канондық теңдеуін пайдланып, A және B нүктесі арқылы өтетін, a және b параметрін табу арқылы теңдеуін құрамыз.
Бастапқы теңдеу 
.
3 мысал. 
қисықты салу. Фокустарын және эксцентриситетті табу.
Шешіуі. Теңдеудің екі жағын 36-ға бөліп, мына теңдеуді аламыз:
, 
.
Фокустары -- 
, 
, эксцентриситеті - 
3. Гипербола.Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының айырмасы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтыктағы нүктелердің геометриялық орындарын гипербола деп атайды.
Гиперболаның канондық теңдеуі: 
, 
- гипербола асимптоталары
4 мысал. Нақты жарты осі 4-ке тең, ал эксцентриситеті 1,25 болатын гиперболаның канондық теңдеуін жазу.
Шешмі: Эллипстің канондық теңдеуінен b параметрін табамыз
Бастапқы теңдеу 
.
5 мысал. Гиперболаны салу: 
, оның фокустарын және эксцентриситетін табу.
Шешімі. Теңдіктің екі жағын 4-ке бөлеміз. 
, .
Асимптоталарын жүргіземіз 
және гиперболаны саламыз.
. Бұдан фокустар -- , , 
.
4.Парабола. Фокус деп аталатын берілген нүктеден және директриса деп аталатын берілген түзуден ара қашықтықтары бірдей болатын жазықтықтарды нүктелерің геометриялык орындарын парабола дейді.
Парабола теңдеуі: 
мұндағы р -берілген фокус пен директрисаның арасындағы қашықтық, х пен у - параболаның бойындағы кез келген жылжымалы нуктенің координатасы.
Параболаның эксцентриситеті: 
Параболаның директрисасының теңдеуі: 
Параболаның канондық теңдеуі: 
6 мысал. Параболаның канондық теңдеуін құру, мұндағы директрисасы 
Шешімі. Параболаның канондық теңдеуі 
, ал директрисасы 
. Есептің шарты бойынша директриса 
. Бұдан 
, ал параболаның канондық теңдеуі 
у
● х
−3 O
Параболаны салу үшін квадраттық үшмүшенің 
графигі бойынша 
толық квадратты алу арқылы және төбесінің координаталарын таба отырып, 
остерімен қиылысу нүктелерін, симметриялы осін анықтау.
7 мысал. Параболаны салу 
және оның фокустарын және директрисасын табу.
Шешуі. Параболаның канондық теңдеуі, 2р=3, р=1,5. Параболаны салу үшін оның бірнеше нүктелерін табамыз. Ол нүктелер: 
, 
, 
.
F фокусы Ох осінде, төбеден 
қашықтықта жатады, яғни координатасы (0,75; 0). Теңдеудің директрисасы 
, яғни х=-0,75.
Өзіндік жұмыс тапсырмалары
1.Төбесі координатаның басында орналасқан, 
осіне қарағанда симметриялы және 
нүктесі арқылы өтетін параболаның канондық теңдеуін табу.
2.Фокусы 
, 
нүктелерінде жататын және нақты осінің ұзындығы 8-ге тең гиперболаның теңдеуін жазу.
3. 
теңдеуінен эллипстің эксцентриситеті мен фокустың координатасын табу.
4. 
теңдеуімен берілген шеңбердің радиусы мен центрін табу.
5. 
гипербола асимптотасының теңдеуін, оның төбесі мен фокустың координатасын табу.
6.Фокусы 
и 
нүктелерінде жататын және нақты осінің ұзындығы 4-ке тең гиперболаның теңдеуін жазу.
7. 
гипербола асимптотасының теңдеуін, оның төбесі мен фокустың координатасын табу.
8. 
эллипстің эксцентриситетін, директриса теңдеуін, фокус координатасын және жарты осін табу.
9.Төбесі координатаның басында орналасқан, осіне қарағанда симметриялы және 
нүктесі арқылы өтетін параболаның канондық теңдеуін табу.
10. 
эллипстің эксцентриситетін, директриса теңдеуін, фокус координатасын және жарты осін табу.
11. 
екінші ретті қисық теңдеуін толық квадратқа келтіру арқылы канондық түрін жазу.
Практикалық жұмыс №10
«Шектерді есептеу тәсілдері»
Жұмыс мақсаты:Шек туралы ережелері мен тамаша шектерді пайдалана отырып, анықталмаған шектерді ашу тәсілдерімен шекті таба білуді меңгерту.
Жұмыс мазмұны:Функцияның шегін есептеуде тікелей шек туралы теоремаларды пайдаланамыз, ал бөлшекпен берілген функцияның шегін табуда, бөлшектің бөлімі нөлге тең болмау керек шартына орай шек табылмайды. Бұндай шектер анықталмаған шек деп аталады. Анықталмаған шектерді табудың бірнеше тәсілдерін қарастырамыз.
Функцияның шегін есептеуде кездесетін анықталмаған түрлері:
Элементарлы фуанкцияның нүктедегі шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең: 
.
Анықталмаған шекті ашу тәсілдері:
-Көпмүшеге жіктеу;
-Аргументтің ең үлкен дәрежесін бөлшектің алымына және бөліміне бөлу ( 
ұмтылғандағы көпмүше қатынастары үшін);
-Эквивалент функцияларды қолдану;
-Екі тамаша шекті пайдалану.
Бірінші тамаша шек: 
Екінші тамаша шек: 
Тамаша шектің кейбір түрлері:
1. 
2. 
3. 
4. 
Кейбір шектер үшін орындалатын ережелер:
егер 
, егер 
;
егер 
; 
егер 
.
1. Анықталмаған түрі: 
шегі көпмүше қатынастарыны 
анықталмағандықты ашу үшін:
1. Анықталмаған түрін анықтау,
2. Анықталмаған түбірі бойынша көпмүшеге жіктеу арқылы, алымы мен бөлімін 
мүшеге бөлу.
1 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі: 
Бұдан шек анықталмаған 
, оны анықтау үшін берілген шектің алымы мен бөліміндегі көпмүшелерге тиісті түрлендірулер жасаймыз. 
(соңғы мәні) ұмтылғандықтан, көпмүшенің алымы мен бөлімін формула бойынша көбейткішке жіктейміз: 
Теңдеудің түбірін табу: 
;
, 
.
бұдан, 
.
Теңдеу түбірін табу: 
, 
.
Бұдан, 
Берілген шек 
функциясы 
нүктеде – үздіксіз, яғни, 
орнына қоямыз, бұдан жауабы 
.▼
2 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі: х ұмтылатын 5 санында шек анықталмаған түрі . Оны ашу үшін бөлімін қысқаша көбейту формуласы бойынша көбейткіщке жіктейміз: х2 -25 = (х-5)*(х+5), бұдан ортақ көбейткіш аламыз (х-5),бөлшекті қысқартуға болады. Берілген шек: 
. х=5 орнына қоя отырып,нәтижеде аламыз:
= 
= 
3 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі: х ұмтылатын 3 санында шек анықталмаған түрі . Бөлшектің алымында, бөлімінде көбейткішке жіктей отырып, х-3 қысқартамыз, нәтижеде:
▼
4 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі: х ұмтылатын 3 санында шек анықталмаған түрі . Анықталмағандықты ашу үшін бірінші тамаша шекті пайдаланамыз: 
және 
. Бұдан кейін шек теорема бойынша оңай шешіледі.
▼
5 мысал.Шекті есептеу: 
Шешуі: Бөлшектің алымы мен бөлімі 
нүктеде көпмүшенің түбірі 
нөлге тең. Көпмүшенің түбірі болғандықтан, көпмүше 
қалдықсыз бөлінеді. Безу теоремасы бойынша көпмүшенің алымы мен бөлімі көбейткішке жіктеледі.
Бұдан
.
Бөліндінің шегі туралы теорема бойынша:
. ▼
2. Шектің анықталмаған түрін ашу: 
Егер алгебралық екі функция қатынасының шегі 
ұмтылғанда, шек 
анықталмаған түрге тең болған жағдайда бөлшектің алымы мен бөлімін x –тің ең үлкен дәрежесіне, яғни бөлшектің алымына және бөліміне бөлу керек.
6 мысал.Шекті есептеу 
Шешімі: х айнымалының орнына шексіздікті ( 
) қойғанда, анықталмағандық түрін аламыз 
. Оны ашу үшін бөлшектің алымында, бөлімінде х айнымалының ең үлкен дәрежесіне бөлеміз. Бұдан:
= 
= 
, яғни 
қатынастары шексіз кіші болғандықтан шегі 0-ге тең болады.
7 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі: 
▼
3. Анықталмаған түрі: 
және0×¥
Иррационал функциядан тұратын анықталмаған шекті және0×¥ есептеу үшін, алгебралық түрлендірулердің көмегімен 
және анықтамаған түріне келтіру, бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу, ол үшін алымы мен бөлімінің түйіндесіне көбейту керек.
а) 
түріндегі анықталмағандықты ашу үшін өрнекті өзінің түйіндесіне көбейтіп, бөлеміз.
8 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі: алдыңғы шек сияқты:
9 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі:
4.Анықталмаған түрі 
10 мысал.Шекті есептеу 
Шешуі: Бұл түрдегі анықталмағандықты ашу үшін бөлшектің алымы мен бөлімін алымының түйіндесіне ( 
- өрнегіне ) көбейтеміз:
5.Тригонометриялық функциялардың шегі. Тригонометриялық функцияның шегін бірінші тамаша шек және алгебралық, тригонометриялық түрлендірулер көмегімен табу.
11 мысал.Шекті есептеу 
.
Шешуі: 
▼
Өзіндік тексеру жұмысы
| I нұсқа | II нұсқа | III нұсқа |
| «50-74%» | ||
а)  
| а)  
| а)  
|
б)  
| б)  
| б)  
|
в)  
| в)  
| в)  
|
г)  
| г)  
| г)  
|
| «75-89%» | ||
а)  
| а)  
| а)  
|
б)
 
| б) 
| б) 
|
в)  
| в)  
| в)  
|
г) 
| г) 
| г) 
|
| «90-100%» | ||
а)  
| а)  
| а)  
|
б) 
| б) 
| б) 
|
в)  
| в)  
| в)  
|
г) 
| г) 
| г) 
|
Өзіндік жұмыс тапсырмалары
1.а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
2. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
3. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
4. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
5. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
6. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
7. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
8. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
9. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
10. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
д) 
.
Практикалық жұмыс №12
«Дифференциалдық есептеулер»
Жұмыс мақсаты:Негізгі элементарлы функциялардың дифференциалдау кестесі мен дифференциалдау ережесін пайдаланып функцияның туындысын таба білуді үйрету.
Жұмыс мазмұны:Негізгі элементарлы функциялардың дифференциалдау кестесі
1. 
2.
3.  
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
| 12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
|
Тапсырманы орындауға арналған нұсқаулар
Функцияның туындысын табу: у = 
Формулаларын пайдаланып функцияның туындысын табу:
у = 
Формулаларды пайдаланып туындыны табу:
у = 
Формулаларды пайдаланып туындыны табу:
у = 
Өзіндік тексеру жұмысы
1 нұсқаТуындыны табу
1. f’ (х) = 
(х + 2); 2. f’ (х) = 
; 3. f’ (х) = 
+ 
– 
х2 – 3х;
4. f’ (х) = (х - 1) (х + 2). 5. f(x) = sin(2x2 – 3x + 1);
6. f(x) = cos3(2x – 1); 7. f(x) = 
.
2 нұсқаТуындыны табу
1. f’ (х) = 
(х + 1); 2. f’ (х) = 
; 3. f’ (х) = + 
х3– 
– 2х;
4. f’ (х) = (х + 3) (х - 2). 5. f(x) = cos(3x2 – 4x + 2);
6. f(x) = sin3(2 - 3x); 7. f(x) = 
.
Өзіндік жұмыс тапсырмалары
Функцияның туыдысын табу:
1. I. f(x) = (4 – 3x) 
II. f(x) = 
III. f(x) = 
IV. f(x) = 
V. f(x) = cos2x + sin(x + 
)
2. I. f(x) = 
II. f(x) = 
III. f(x) = 
IV. f(x) = cos6x+sin4x
V. f(x) = 
3.I. f(x) = (20x + 4) 
II. f(x) = 4sin 
III. f(x) = sin4xcos6x – cos4xsin6x
IV. f(x) = 
V. f(x) = 
4. I. f(x) = sin5xcosx – cos5xsinx
II. f(x) = 
III. f(x) = 
IV. f(x) = 
V. f(x) = cos4xcos5x - sin4xsin5
5.I. f(x) = 
II. f(x) = cos(6 – 4x)
III. f(x) = (4x + 3) 
IV. f(x) = sin7xsin5x + cos7xcos5x
V. f(x) = (9 -x 
) 
+ 
6.I. f(x) = cos4xcos2x - sin4xsin2x
II. f(x) = 34sin 
x
III. f(x) = ctg 
+ 1
IV. f(x) = 
V. f(x) = (3x – 4) 
7.I. f(x) = sin6xsin4x + cos6xcos4x
II. f(x) = (8x + 4) 
III. f(x) = 
IV. f(x) = 5sin( 
- 
)
V. f(x) = 
8.I. f(x) = 
II. f(x) = sin5xcosx – cos5xsinx
III. f(x) = (5 – 3x) 
IV. f(x) = 7 sin 
x
V. f(x) = (7x +3) 
9.I. f(x) = 
II. f(x) = 
III. f(x) = 
IV. f(x) = sinxcos2x + cosxsin2x
V. f(x) = (x 
- 2x 
+ 5) 
10.I. f(x) = 
II. f(x) = (4х + 6) 
III. f(x) = - 2sin 
sin 
IV. f(x) = 
V. f(x) = 
11.I. f(x) = (7 – 8х) 
II. f(x) = 
III. f(x) = cos5x – sin2x
IV. f(x) = (7x + 3) 
V. f(x) = 2sin( 
- 
)
12.I. f(x) = sinxcos2x + cosxsin2x
II. f(x) = 
III. f(x) = (8 -2x) 
IV. f(x) = cos 
- sin 
V. f(x) = ( 
) 
13.I. f(x) = (4х + 2) 
II. f(x) = 
cos(2x – π)
III. f(x) = 
IV. f(x) = 
V. f(x) = sin5xsin3x + cos5xcos3x
14. I. f(x) = (9x + 3) 
II. f(x) = 
III. f(x) = 
IV. f(x) = 6 (х³+ 5х)
V. f(x) = 
15. I. f(x) = (5 – 4x) 
II. f(x) = 
III. f(x) = 
IV. f(x) = - 5cos( 
- π)
V. f(x) = 
16. I. f(x) = sin 
(2x + 40)
II. f(x) = ( 6x – 2) 
- (9x + 7) 
III. f(x) = sin (8x + 3)
IV. f(x) = 
V. f(x) = sin8xsin3x + cos8xcos3x
17. I. f(x) = 3sin( 
- 
)
II. f(x) = sin5xsin3x + cos5xcos3x
III. f(x) = 2cos
IV. f(x) = 
V. f(x) = 
18.I. f(x) = 4sin( 
- 
)
II. f(x) = sin8xsin3x + cos8xcos3x
III. f(x) = 
IV. f(x) = 
V. f(x) = 4cos 
sin
19. I. f(x) = 5sin( 
- π)
II. f(x) = sin5xsinx + cos5xcosx
III. f(x) = 
IV. f(x) = 
V. f(x) = 2cos 
sin 
20. I. f(x) = 6sin( - 
)
II. f(x) = sin9xsin2x + cos9xcos2x
III. f(x) = 
IV. f(x) = 
V. f(x) = 6sin
Практикалық жұмыс №13
«Функцияны зерттеуде туындының мазмұны»
Жұмыс мақсаты:Функцияны зерттеу схемасын пайдаланып, функция графигін салуды үйрету.
Жұмыс мазмұны:
Функцияны зерттеу және графигін салудың жалпы схемасы:
1. Функцияның анықталу облысын табу.
2. Функцияны жұп және таққа зерттеу.
3. Таңба тұрақтылығын анықтау.
4. Функцияның монотондылық аралығын, оның экстремумын табу.
5. Функцияның дөңес аралығын және иілу нүктесін табу.
6. Функция графигімнің координата остерімен қиылысу нүктелерін табу.
7. Зерттеуден алынған мәліметтер бойынша функция графигін салу.
Функция графигін салу: 
1. D(y) = R
2. Функция ж