Раздел 3. Уравнение состояния идеального газа. Газовые смеси.

Пример 3.1.Найти молярную плотность идеального газа при нормальных условиях.

Решение. Молярная плотность это число молей газа в единице объёма, равное ν/V. Это отношение можно выразить из уравнения состояния идеального газа: pV=νRT. Молярная плотность равна: ν/V=p/(RT). Подставляя в эту формулу значения давления и температуры при нормальных условиях (соответственно 100 кПа и 273 К), получим, что независимо от химической природы идеального газа его молярная плотность при нормальных условиях 44,64 моль/м³ .

 

Пример 3.2. Под каким давлением находится кислород (молярная масса μ=0,032 кг/моль) в баллоне объёмом V=10 л и чему равна суммарная кинетическая энергия всех его молекул при условии, что концентрация газа n=2·10²⁵ м^-3 , а средняя квадратичная скорость молекул кислорода v_кв =10³ м/с.

Решение. 1) Для нахождения давления газа p воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева (уравнением состояния идеального газа): pV=(m/μ)RT, из которого следует, что p=mRT/(Vμ). Массу газа можно выразить через известные величины следующим образом: m=Nm₀ , где N=nV – число молекул газа, m₀ =μ/N_А – масса одной молекулы кислорода. N_А - число Авогадро.

Таким образом,

 

m=nVμ/ N_А → m/V=nμ/ N_А .

 

Температуру газа можно определить из выражения для средней квадратичной скорости молекул (см. выше):

 

T= v_кв ² μ/(3R).

 

Подставив полученные выражения в формулу для расчёта давления, окончательно получим:

 

p=mRT/(Vμ)= v_кв ² μ n/(3N_А).

 

После подстановки числовых данных и расчёта получим: p=354 кПа.

2) Суммарная кинетическая энергия всех молекул газа E_кин=(i/2)kTN, где i – число степеней свободы молекул (для кислорода, являющегося двухатомным газом, i=5); k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; N – число молекул. Поскольку число молекул можно найти по формуле N=(m/μ) N_А , а также с учётом того, что R=k N_А , получим: E_кин=(i/2)mRT /μ. Сравнивая это с уравнением состояния, можно заметить, что E_кин=(i/2)pV. Подставив числовые данные и произведя расчёт, получим: E_кин=8,86 кДж.

 

 

Пример 3.3. В баллоне объёмом V=5 л находится смесь кислорода и водорода под давлением p=кПа при температуре 27°C. Масса кислорода в три раза больше массы водорода (m₁=3m₂). Найти число молекул кислорода N₁ и число молекул водорода N₂ в этом баллоне. Молярная масса кислорода μ₁= 0,032 кг/моль, молярная масса водорода μ₂=0,002 кг/моль.

Решение. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме давлений каждого газа в отдельности (парциальных давлений): p=p₁+p₂. При этом каждый газ занимает объём, равный объёму баллона. Из уравнения Клапейрона-Менделеева, записанного для каждого газа в отдельности, можно выразить парциальные давления. Складывая их, получим общее давление:

 

p=(RT/V)·[m₁/μ₁+m₂/μ₂].

 

С учётом соотношения масс, получим:

 

p=(m₂ RT/V)·[3/μ₁+1/μ₂].

 

Массу водорода можно выразить следующим образом: m₂ =μ₂ N₂ /N_А. Подставив это в уравнение для p и выразив затем число молекул водорода, с учётом того, что R/N_А=k, можно получить:

N₂ =pV/[kT(3μ₂/μ₁+1)].

 

Используя соотношение масс газов, найдём число молекул кислорода:

 

N₁=3μ₂ N₂ /μ₁ .

 

Переведя числовые данные в единицы измерения СИ и произведя расчёт, получим: N₁= 10²² , N₂=5·10²³ молекул.

 

 

Пример 3.4. Найти молярную массу смеси, состоящей из 25 г кислорода и 75 г азота.

Решение. Введём обозначения: m₁ , ν₁ , μ₁ – масса, количество вещества и молярная масса кислорода; m₂ ,ν₂ , μ₂ – масса, количество вещества и молярная масса азота; m_см , ν_см , μ_см – масса, количество вещества и молярная масса смеси.

Молярную массу смеси можно найти как отношение массы с меси к количеству вещества смеси:

μ_см = m_см / ν_см .

 

Масса смеси равна сумме масс компонентов: m_см = m₁ + m₂. Количество вещества смеси

ν_см = ν₁ + ν₂ = m₁ / μ₁ + m₂ / μ₂ .

 

С учётом двух последних выражений получим:

 

μ_см = (m₁ + m₂₎ /( m₁ / μ₁ + m₂ /μ₂).

 

После подстановки числовых данных и последующих расчётов получим: μ_см = 0,0289 кг/моль.

 

Пример 3.5. Воздушный шар диаметром D=8 м удерживается верёвкой, натянутой вертикально. Насколько изменится натяжение верёвки, если температура окружающего воздуха понизится с t₁ = 27°C до t₂ =7°C ? Атмосферное давление p_атм нормальное (100 кПа). Молярная масса воздуха μ=0,029 кг/моль.

Решение. На воздушный шар действуют три силы: выталкивающая F_выт (вверх), сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения верёвки F_Н (вниз). Из-за понижения температуры изменится плотность воздуха, следовательно, изменится выталкивающая сила. При равновесии шара силы компенсируются, поэтому для двух состояний газа (до и после понижения температуры) на основании первого закона Ньютона можем записать: F_выт1 =mg+F_Н1 ; F_выт2 =mg+F_Н2. Изменение силы натяжения ΔF =F_Н2 - F_Н1= F_выт2 - F_выт1 = =ρ₂ gV – ρ₁ gV, где ρ₁ и ρ₂ – плотности газа при температурах Т₁ и Т₂ , V=πD³/6 – объём шара. Плотности газа можно найти из уравнения Клапейрона – Менделеева, записанного в форме: p=ρRT/μ. Тогда ρ₁ =pμ/(RT₁), ρ₂ =pμ/(RT₂). Подставляя формулы объёма и плотности в выражение для ΔF, после несложных преобразований получим :

ΔF={πgpμD³/(6R)}·(1/T₂ -1/T₁ ). Вычисления дают: ΔF= 0,4 Н.