Типы эконометрических моделей
Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках, исследовании экономической активности и даже в исследовании политических процессов.
Математические модели полезны для более полного понимания сущности происходящих процессов, их анализа. Модель, построенная и верифицированная на основе уже имеющихся наблюденных значений объясняющих переменных, может быть использована для прогноза значений зависимой переменной в будущем или для других наборов значений объясняющих переменных.
Можно выделить три основных класса моделей, которые применяются для анализа и/или прогноза.
1. Модели временных рядов.
К этому классу относятся модели:
‑ тренда:
| y(t) = T(t) + et, | (2) |
где T(t) – временной тренд заданного параметрического вида например, линейный T(t) = a+bt;
et – случайная (стохастическая) компонента;
‑ сезонности:
| y(t) = S(t) + et, | (3) |
где S(t) ‑ периодическая (сезонная) компонента;
et ‑ случайная (стохастическая) компонента;
‑ тренда и сезонности:
| y(t) = T(t) + S(t) + et ‑ аддитивная модель; | (4) |
| y(t) = T(t) S(t) + et – мультипликативная модель, | (5) |
где T(t) ‑ временной тренд заданного параметрического вида;
S(t) ‑ периодическая (сезонная) компонента;
et ‑ случайная (стохастическая) компонента.
К моделям временных рядов относится множество более сложных моделей, таких, как модели адаптивного прогноза, модели авторегрессии и скользящего среднего и др. Их общей чертой является то, что они объясняют поведение временного ряда, исходя только из его предыдущих значений. Такие модели могут применяться, например, для изучения и прогнозирования объема продаж авиабилетов, спроса на мороженое, краткосрочного прогноза процентных ставок и т. п.
2. Регрессионные модели с одним уравнением.
В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная у представляется в виде функции:
| y = f(x1,...,xk, b1,...,bm),, | (6) |
где x1,...,xk – независимые (объясняющие) переменные,
b1,...,bm – параметры. В зависимости от вида функции f модели делятся на линейные и нелинейные. Например, можно исследовать спрос на мороженое как функцию от времени, температуры воздуха, среднего уровня доходов или зависимость зарплаты от возраста, пола, уровня образования, стажа работы и т. п.
Область применения таких моделей, даже линейных, значительно шире, чем моделей временных рядов. Проблемам теории оценивания, верификации, отбора значимых параметров и другим посвящен огромный объем литературы. Эта тема является стержневой в эконометрике и основной в данном курсе.
3. Системы одновременных уравнений
Эти модели описываются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может, кроме объясняющих переменных, включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы. Таким образом, мы имеем здесь набор объясняемых переменных, связанных через уравнения системы. Примером может служить модель спроса и предложения, приведенная ниже. Системы одновременных уравнений требуют относительно более сложный математический аппарат. Они могут использоваться для моделей страновой экономики.
Пример. Модель спроса и предложения описывается системой уравнений:
| QtS = a1 + a2Pt + a3Pt-1 + et (предложение), QtD = b1 + b2Pt + b3Yt + et (спрос), QtS = QtD (равновесие). | (7) |
Здесь QtD – спрос на товар в момент времени t (demand);
QtS – предложение товара в момент времени t (supply);
Pt – цена товара в момент времени t (price level);
Pt-1 – цена товара в предыдущий момент времени t-1;
Yt – доход в момент времени t (income);
a1, a2, a3, b1, b2, b3 – параметры моделей;
et ‑ случайная (стохастическая) компонента.
Цена товара и спрос на товар определяются из уравнений модели, то есть являются эндогенными переменными. Предопределенными переменными в данной модели являются доход и значение цены товара в предыдущий момент времени.