ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной длиной 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными к кольцевому (рис. 6,а). Найти индукцию в центре кольца. Силы токов в проводниках равны 2 А. Влияние подводящих проводов не учитывать.

Дано: l = 0,2 м, r₀= 0,1 м, β₁ = β₂ = 45°, l₁= l₂= l = 2А.

Найти В.

Решение. Индукция dB в точке поля от элемента проводника dl с током I (проводник имеет произвольную конфигурацию) определяется по закону Био-Савара-Лапласа:

где r - модуль радиус-вектора, проведенного из элемента в точку, где определяется индукция: α - угол, составленный векторами dl и r; μ₀ - магнитная постоянная. Направление вектора индукции перпендикулярно плоскости, содержащей dl и r, и определяется правилом правого винта. Например, в центре окружности (см. рис. 6, а) векторы индукции от всех элементов перпендикулярны плоскости окружности и направлены на нас. Интегрируя выражение (1), получаем индукцию в центре окружности радиуса r₀:

Индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ прямого проводника на расстоянии r₀ от него (рис. 6,б), равна Эту же формулу в некоторых случаях, удобнее записать в виде

Вектор индукции в точке М перпендикулярен плоскости, в которой лежат проводник АВ и r₀, и совпадает по направлению с B₁.

По условию задачи β₁ = β₂ = 45°, и индукция от двух сторон угла составляет

Так как направления векторов индукции полей, создаваемых проводниками, совпадают, то результирующая индукция в центре кольца равна сумме В = В₁ + В₃, или

Тл=15,32мкТл

Ответ: B=15, 32 мкТл.

2. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками в случаях: 1) проводники параллельны и токи текут в одном направлении (рис. 7, a); 2) проводники перпендикулярны, направления токов показаны на рис. 7, б.

Дано: d = 0,1 м, I₁= I₂= l = 5 А.

Найти: и .

Решение. Результирующая индукция магнитного поля в данной точке равна векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности: В = В₁+ В₂ (1), где B₁ и В₂ - индукции полей, создаваемых соответственно токами l₁ и l₂. Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении, то, применив правило правого винта, определяем направления В₁ и В₂. Как видно из рис. 7, а, B₁ и В₂ направлены в противоположные стороны, поэтому векторная сумма (1) в данном случае может быть заменена алгебраической:

(2)

Индукции полей, создаваемых бесконечно длинными проводниками, находим по формуле

(3)

где r₁ и r₂ - соответственно расстояния от проводников до точки, где определяется индукция магнитного поля. Согласно условию задачи, r₁= r₂= r и тогда

В случае, когда проводники перпендикулярны (рис. 7,б), результирующая индукция в точке, лежащей посередине между проводниками, равна

или (4)

Подставляя числовые значения, получаем

Ответ: = 0, = 27,63 мкТл.

3. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории r = 2 см. Определить удельный заряд электрона.

Дано: U = 3,52-10³ В, В = 0,01 Тл, r = 2 см.

Найти e/m.

Решение. Удельным зарядом частицы называется величина, равная отношению заряда к массе, т. е. е/m.

В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью v перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца F_Л= Вev. Под действием этой силы заряд перемещается по дуге окружности. Так как при этом сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, то согласно второму закону Ньютона можно записать .

Кинетическую энергию, равную , электрон приобретает за счет работы А сил электрического поля ( ), поэтому имеем .

Преобразуя последние два соотношения и исключив из них скорость, получим формулу для определения удельного заряда электрона

Подставив исходные данные, находим

Ответ: е/m = 1,76 · 10¹¹ Кл/кг.

4. Виток радиусом 2 см, по которому течет ток силой 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано: 7 = 10 А, В = 1,5 Тл, r = 0,02 м, α = 90°.

Найти А.

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент , (1) где - магнитный момент витка; В - индукция магнитного поля; α - угол между векторами p_m и В. В начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, векторы p_m и В совпадают по направлению, т.е. α = 0 и М = 0. При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в исходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является переменным и зависит от угла поворота α:

или .

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

Подставляя числовые значения, находим

А = 10А · 3,14 · 4 · 10^-4 м² · 1,5 Тл = 18,84 · 10^-3 Дж = 0,02 Дж.

Ответ: A = 0,02Дж.

5. По соленоиду течет ток силой 5 А, длина соленоида 1 м, число витков 500. В соленоид вставлен железный сердечник. Найти намагниченность и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида. Зависимость В = f (Н) дана на рис. 8.

Дано: I = 5 А, l = 1 м, N = 500.

Найти: I, w

Решение. Намагниченность определяется отношением магнитного момента к объему магнетика и связана с напряженностью магнитного поля соотношением (1), где - магнитная восприимчивость среды. Поле соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля вычисляется по формуле Н = In, (2) где I - сила тока, текущего по обмотке соленоида; n = N/l - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Тогда Н = IN/l. (3)

Связь между магнитной восприимчивостью и магнитной проницаемостью μ среды выражается формулой . (4)

Определим напряженность магнитного поля соленоида по (3)

По графику на рис. 8 находим, что напряженности соответствует индукция магнитного поля В = 1,6 Тл. Используя соотношение находим

Согласно формуле (4) имеем = 500 – 1 = 499. Определим намагниченность по формуле (1)

Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по формуле

Ответ: J = 12, 5 · 10⁵ А/м, w = 2 · 10³ Дж/м³.

6. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания с периодом 1 с. Начальная фаза колебаний 30°. Определить амплитуду колебаний, максимальные скорости ускорение колеблющейся точки, если максимальная кинетическая энергия равна 0,02 Дж.

Дано: m = 0,01 кг, Т = 1 с, φ₀= 30° = π/6, E_k _max= 0,02 Дж

Найти: А, ,

Решение. Полная энергия колеблющейся точки - это сумма потенциальной и кинетической энергии; она равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии. Полная энергия зависит от массы колеблющейся точки, амплитуды и круговой частоты колебаний:

Отсюда находим

или учитывая, что ,

;

Зная амплитуду, запишем уравнение гармонических колебаний, совершаемых материальной точкой:

где - смещение точки относительно положения равновесия; 0,32м = A - амплитуда; 2 πc^-1 = w - круговая частота; π/6 = φ₀ - начальная фаза колебаний.

Скорость точки определяется как первая производная от смещения по времени:

Полагая = 1, получаем

Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по времени:

Полагая , находим

Максимальную скорость можно найти из уравнения , откуда

;

Ответ: А = 0,32 м, = 2 м/с; = 12,62 м/с².

7. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется со временем по закону . Электроемкость конденсатора 0,5 мкФ. Определить период собственных колебаний, индуктивность, энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности.

Дано: , С = 0,5 · 10^-6 Ф.

Найти: T, L, W, I_max.

Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону , где - амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора; - собственная циклическая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением . Отсюда находим .

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона , откуда

; .

Энергия контура - это сумма электрической и магнитной энергий и равна максимальной энергии поля конденсатора или максимальной энергии катушки индуктивности :

Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности:

; .

Ответ: = 0,002 с, = 0,2 Гн, = 2,5 мДж, = 0,15 А.

8. Колеблющиеся точки удалены от источника колебаний на расстояние 0,5 и 1,77 м в направлении распространения волны. Разность фаз их колебаний равна 3π/4. Частота колебаний источника 100 с^-1. Определить длину волны и скорость ее распространения. Написать уравнение волны для заданных точек, если амплитуды колебаний их равны 1 см.

Дано: = 0,5 м, =1,77 м, = Зπ/4, = 10² с^-1, , , = 0,01 м.

Найти: λ, υ

Решение. Из уравнения бегущей волны по разности фаз и расстоянию от источника колебаний до колеблющейся точки можно определить λ. Имеем

(1) или (2)

где - смещение колеблющейся точки; - время колебания; - круговая частота.

В уравнении (2) выражение является фазой колебаний. Запишем фазы для каждой из заданных точек:

; .

Тогда разность фаз , откуда

; .

Скорость распространения волны

; .

Подставляя числовые значения в уравнение (1), получаем соответственно для первой и второй точек:

;

Ответ: λ = 3,38 м, ν = 338 м/с.

9. Определить энергию, переносимую плоской синусоидальной электромагнитной волной, распространяющейся в вакууме, за 1 с сквозь поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны 5 мВ/м. Период волны Т .

Дано: , , ,

Найти

Решение. Плотность потока энергии (или интенсивность излучения) электромагнитных волн, т. е. количество энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, определяется вектором Пойнтинга , где Е, Н - векторы напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне. Учитывая, что Е┴Н, получим для модуля вектора Р

Р = ЕН.

Так как величины Е и H в каждой точке электромагнитной волны меняются во времени по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение величины Р равно

(1)