лекция.

Таќырыбы: Түзудің нормаль теңдеуі. Нормальдағыш көбейткіш. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.Түзулер шоғыры.

Түзудің нормальдық теңдеуі.Координаталардың бас нүктесінен бір (а) түзуіне жүргізілген перпендикуляр абсцис­са осінің оң, бағытымен α бұрышын жасайды. Бұл перпендикулярдың ұзындығы болсын. Осы (а) түзуінің теңдеуін іздейік.

(а) түзуінің бойынан (31- сызба) еркімізше бір М(х, у) нүктесін алайық. Осы нүктеден абсцисса осіне МЕ перпендикулярын түсірсек, МЕВ тік бұрышты үшбұрышы шығады. Мұнда ЕМВ = α, ОЕ = х, ЕМ = у болады ОDВ тік бұрышты үшбұрышынан

соs α = = = , осыдан р= (х + ЕВ) соs α.

ЕМВ тік бұрышты үшбұрышынан tg α = = ------------ , осыдан ЕВ= у tg α. Осы ЕВ-нің мәнін жоғарғы теңдікке қойсақ, іздеген түзудің теңдеуін табамыз: р= (х + у tg α) соs α. р = х соs α. + у sіn α,

х соs α + у sіn α— р = 0. (3)

Бұл теңдеу түзудің нормальдық теңдеуі деп аталады. Егер р = 0 болса, онда х соs α + у sіn α = 0. (3')

Егер түзу абсцисса осіне параллель болса, онда α = ;

у = р. (3")

Егер түзу ордината -осіне параллель болса, онда α = 0,

x =p. (3'")

Егер р≥0 болса, онда х пен у-тіңалдындағы коэффициенттернің квадраттарының косындысы бірге тең, яғни соs2 α + sіn2 α = мұндағы |sіnα| ≤1, | соs α | ≤ 1.

(31- сызба)

 

Түзудің жалпы теңдеуін нормальдық түрге келтіру.Бізге түзудің Ах + Ву + С = 0 жалпы теңдеуі берілсін. Осы теңдеуді нормальдық түрге келтірейік.

Берілген теңдеудің екі жағын да нольге тең болмайтын бір М≠О санына көбейтейік: МАх+МВу+МС = О. Бұл теңдеу түзудің нормальдық теңдеуі болу үшін мынадай шарттар орындалу керек: МА= соs α, МВ = sіnα,

МС= —р.

Алдынғы екі теңдіктің екі жағын квадраттап қосайық:

М2 А2+ М2В2= соs2 α + sіn2 α = 1.

осыдан М2 (А2 + В2)= 1,

М=

Бұл М саны нормальдық көбейткіш деп аталады. Нормальдық көбейткіш түзудің жалпы теңдеуінің А және В коэффициенттері арқылы шығады. М= нормальдық көбейткіштің мәнін мына МАх + МВу + МС = О теңдеуіне қойсақ, мынау шығады: =0

Сонымен, жалпы теңдеуді нормальдық түрге келтіру үшін, оны нормальдық, кебейткішке көбейту керек. Нормальдық көбейткіштің таңбасын МС=−р теңдігі бойынша аламыз, яғни нормальдық, көбейткіштің таңбасы әрқашан да теңдеудің бос мүшесінің таңбасына қарама-қарсы болады. Кебейткіш М мен бос мүше С-нің көбейтіндісі теріс таңбалы сан болады: МС=− р. Ендеше, М мен С-тің таңбалары әр түрлі болады.

Мысал. Түзудің Зх — 4у + 5 = 0 жалпы теңдеуі берілген. Осы теңдеуді нормальдық түрге келтірейік.

М= = =

Енді түзудің нормальдық теңдеуін табайық:

=0, − x+ y−1=0

Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтық. Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табайық. Бізге түзу х соs α + у sіn α−p = 0. нормальдық теңдеуімен берілген.

Жазықтықта берілген М1 (х1 , у1) нүктесі түзудің сыртында (32-сызба) жатсын. Осы нүктеден нормальдық теңдеу мен берілген түзуге дейінгі қашықтықты табайық.

Нормальдық теңдеумен берілген түзу (α) болсын (32-сызба). Берілген М1 (х1 , у1) нүктесінен берілген (α) түзуіне параллель (b) түзуін жүргізейік. Берілген М1 нүктесінің координаталары мына теңдеуді қанағаттандырады: х соs α + у sіn α− р'= 0. 32-сызбада М1Е=DМ = , ОМ = р, ОD = р', = ОD-OМ = р'-р, = р'-р. Жоғарғы теңдіктен

р'= х1 соs α + y1 sіn α.

Ал, берілген теңдеуден р = х соs α + у sіn α. Енді = р' — р теңдігіне табылған р' мәнін қойып, іздеген қашықтықтың формуласын табайық:

= х1 соs α + y1 sіn α−р.

Егер берілген нүкте берілген түзу мен бас нүктенің арасында болса, онда = р — р'= — (р' — р) болады. Сондықтан

= Ғ (х1 соs α + y1 sіn α — р).

Сөйтіп, нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу үшін берілген түзудің теңдеуінің ағымдық координаталарының орнына берілген нүктенің координаталарын қою керек.

Егер түзу Ах+Ву + С=0 жалпы түрде берілсе, онда берілген М1 (х1 , у1) нүктесінен бұл түзуге дейінгі қашықтық мынадай бо­лады:

= =0

Жалпы теңдеуді нормальдық түрге кeлтіріп, оның ағымдық координаталарының орнына берілген нүктенің координаталарын қойдық

'Мысал. Мына Зх + 4у — 6 = 0 түзуінен жазықтықтағы М(2, 1) нүктеге дейінгі қашықтықты табайық: = = = =0,8