Обратная матрица. Присоединенная матрица, особая матрица. Обратимость матрицы.

Матрица называется обратной к данной матрице A, если их произведение равно единичной матрице:

Вырожденной квадратной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю.

 

Матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Для вычисления обратной матрицы к матрице А составим матрицу А* (присоединенную) из алгебраических дополнений матрицы А:

Матрицу транспонируем и каждый элемент разделим на определитель |A|.

 

Построенная таким образом матрица будет обратной к матрице А.:

 

Квадратная матрица A обратима (имеет обратную матрицу) тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть det A ≠ 0.

Присоединённая матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Исходная матрица

Где:С* — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;Aij— алгебраические дополнения исходной матрицы;aij— элементы исходной матрицы.

Особая матрица - квадратная матрица А = порядка n, определитель которой равен нулю, т. е. ранг которой меньше n. Матрица является особой в том и только в том случае, когда между её строками (а также и между столбцами) существует линейная зависимость.