Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину. Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней. При наличии сведений о влиянии на осредняемый показатель некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

Средняя степенная (при степени k) (табл.5.1) определяется как

. (5.1)

Таблица 5.1. Виды средних степенных величин

 

Наименование средней k Формула расчета средней
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) , (5.2) где xi – i-й вариант осредняемого признака ( ); n – число вариант
Средняя арифметическая взвешенная , (5.3) где fi – частота повторяемости i-го варианта
Средняя гармоническая взвешенная -1 , где (5.4)
Средняя гармоническая невзвешенная -1 , (5.5)
Средняя геометрическая невзвешенная , (5.6)
Средняя геометрическая взвешенная (5.7)
Средняя квадратическая невзвешенная , (5.8)
Средняя квадратическая взвешенная . (5.9)

 

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Рассмотрим некоторые свойства средней арифметической, которые позволяют упростить ее вычисление и которые понадобятся при дальнейшем изучении курса.

Свойства средней арифметической:

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна самой величине.

2. Если все варианты xi увеличить (уменьшить) на одно и тоже число c, увеличится (уменьшится) на то же число.

, (5.10)

3. Если все варианты xi увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз k, увеличится (уменьшится) в то же число раз.

, (5.11)

5. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна 0.

, (5.12)

По свойству 2 при : .

6. Средняя арифметическая алгебраической суммы признаков равна такой же сумме средней арифметической этих признаков.

, (5.13)

6. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы группы.

, (5.14)

где – средняя арифметическая группы i;

N – общий объем ряда ( );

ni – объем группы i ( ).

. (5.15)